【题目】如图,在矩形ABCD中,点E是边AB的中点,△EBC沿直线EC翻折,使B点落在矩形ABCD内部的点P处,联结AP并延长AP交CD于点F,联结BP交CE于点Q.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)如果PA=PE,求证:△APB≌△EPC.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)由折叠的性质得到BE=PE,EC与PB垂直,根据E为AB中点,得到AE=EB=PE,利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形,得到∠APB为90°,进而得到AF与EC平行,再由AE与FC平行,利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证;
(2)根据三角形AEP为等边三角形,得到三条边相等,三内角相等,再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等,根据同角的余角相等得到一对角相等,再由AP=EB,利用AAS即可得证.
证明:(1)由折叠得到EC垂直平分BP,
设EC与BP交于Q,
∴BQ=PQ
∵E为AB的中点,
∴AE=EB,
∴EQ为△ABP的中位线,
∴AF∥EC,
∵AE∥FC,
∴四边形AECF为平行四边形;
(2)∵AF∥EC,
∴∠APB=∠EQB=90°,
由翻折性质∠EPC=∠EBC=90°,∠PEC=∠BEC,
∵E为直角△APB斜边AB的中点,且AP=EP,
∴△AEP为等边三角形,∠BAP=∠AEP=60°,
∠CEP=∠CEB==60°,
在△ABP和△EPC中,
∠BAP=∠CEP
∠APB=∠EPC
AP=EP
∴△ABP≌△EPC(AAS).
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC=90°,对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若AB=2,求△OEC的面积.
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【题目】某商城销售A,B两种自行车.A型自行车售价为2 100元/辆,B型自行车售价为1 750元/辆,每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元,商城用80 000元购进A型自行车的数量与用64 000元购进B型自行车的数量相等.
(1)求每辆A,B两种自行车的进价分别是多少?
(2)现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆,设购进A型自行车m辆,这100辆自行车的销售总利润为y元,要求购进B型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍,总利润不低于13 000元,求获利最大的方案以及最大利润.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2.作△ABC的高CD,作△CDB的高DC1,作△DC1B的高C1D1,……,如此下去,那么得到的所有阴影三角形的面积之和为__________.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,联结AP并延长AP交CD于F点,
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)如果PA=PC,联结BP,求证:△APB△EPC.
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【题目】2019年中国北京世界园艺博览会已于2019年4月29日在北京市延庆区开展,吸引了大批游客参观游览.五一小长假期间平均每天入园人数大约是8万人,佳佳等5名同学组成的学习小组,随机调查了五一假期中入园参观的部分游客,获得了他们在园内参观所用时间,并对数据进行整理,描述和分析,下面给出了部分信息:
a.参观时间的频数分布表如下:
时间(时) | 频数(人数) | 频率 |
25 | 0.050 | |
85 | ||
160 | 0.320 | |
139 | 0.278 | |
0.100 | ||
41 | 0.082 | |
合计 | 1.000 |
b.参观时间的频数分布直方图如图:
根据以上图表提供的信息,解答下列问题:
(1)这里采用的调查方式是 ;
(2)表中 , , ;
(3)并请补全频数分布直方图;
(4)请你估算五一假期中平均每天参观时间小于4小时的游客约有多少万人?
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,将抛物线(m≠0)向右平移个单位长度后得到抛物线G2,点A是抛物线G2的顶点.
(1)直接写出点A的坐标;
(2)过点(0,)且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B,C两点.
①当∠BAC=90°时.求抛物线G2的表达式;
②若60°<∠BAC<120°,直接写出m的取值范围.
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【题目】对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:当﹣1≤x≤1时,﹣1≤y≤1,则称这个函数为“闭函数”.例如:y=x,y=﹣x均是“闭函数”(如图所示).已知:y=ax2+bx+c(a≠0)是“闭函数”,且抛物线经过点A(1,﹣1)和点B(﹣1,1).
(1)请说明a、c的数量关系并确定b的取值;
(2)请你确定a的取值范围.
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