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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E是边AB的中点,△EBC沿直线EC翻折,使B点落在矩形ABCD内部的点P处,联结AP并延长APCD于点F,联结BPCE于点Q

1)求证:四边形AECF是平行四边形;

2)如果PAPE,求证:△APB≌△EPC

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.

【解析】

1)由折叠的性质得到BEPEECPB垂直,根据EAB中点,得到AEEBPE,利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形,得到∠APB90°,进而得到AFEC平行,再由AEFC平行,利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证;

2)根据三角形AEP为等边三角形,得到三条边相等,三内角相等,再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等,根据同角的余角相等得到一对角相等,再由APEB,利用AAS即可得证.

证明:(1)由折叠得到EC垂直平分BP

ECBP交于Q

BQPQ

EAB的中点,

AEEB

EQ为△ABP的中位线,

AFEC

AEFC

∴四边形AECF为平行四边形;

2)∵AFEC

∴∠APB=∠EQB90°,

由翻折性质∠EPC=∠EBC90°,∠PEC=∠BEC

E为直角△APB斜边AB的中点,且APEP

∴△AEP为等边三角形,∠BAP=∠AEP60°,

CEP=∠CEB60°,

在△ABP和△EPC中,

∠BAP=∠CEP

∠APB=∠EPC

AP=EP

∴△ABP≌△EPCAAS).

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(2)现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆,设购进A型自行车m辆,这100辆自行车的销售总利润为y元,要求购进B型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍,总利润不低于13 000元,求获利最大的方案以及最大利润.

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1)求证:四边形AECF为平行四边形;

2)如果PA=PC,联结BP,求证:△APBEPC

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a.参观时间的频数分布表如下:

时间(时)

频数(人数)

频率

25

0.050

85

160

0.320

139

0.278

0.100

41

0.082

合计

1.000

b.参观时间的频数分布直方图如图:

根据以上图表提供的信息,解答下列问题:

1)这里采用的调查方式是   

2)表中         

3)并请补全频数分布直方图;

4)请你估算五一假期中平均每天参观时间小于4小时的游客约有多少万人?

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2)过点(0)且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于BC两点.

①当∠BAC90°时.求抛物线G2的表达式;

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