【题目】在平面直角坐标系xOy中,将抛物线(m≠0)向右平移个单位长度后得到抛物线G2,点A是抛物线G2的顶点.
(1)直接写出点A的坐标;
(2)过点(0,)且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B,C两点.
①当∠BAC=90°时.求抛物线G2的表达式;
②若60°<∠BAC<120°,直接写出m的取值范围.
【答案】(1)(,2);(2)①y=(x-)2+2;②
【解析】
(1)先求出平移后是抛物线G2的函数解析式,即可求得点A的坐标;
(2)①由(1)可知G2的表达式,首先求出AD的值,利用等腰直角的性质得出BD=AD=,从而求出点B的坐标,代入即可得解;
②分别求出当∠BAC=60°时,当∠BAC=120°时m的值,即可得出m的取值范围.
(1)∵将抛物线G1:y=mx2+2(m≠0)向右平移个单位长度后得到抛物线G2,
∴抛物线G2:y=m(x-)2+2,
∵点A是抛物线G2的顶点.
∴点A的坐标为(,2).
(2)①设抛物线对称轴与直线l交于点D,如图1所示.
∵点A是抛物线顶点,
∴AB=AC.
∵∠BAC=90°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴CD=AD=,
∴点C的坐标为(2,).
∵点C在抛物线G2上,
∴=m(2-)2+2,
解得:.
②依照题意画出图形,如图2所示.
同理:当∠BAC=60°时,点C的坐标为(+1,);
当∠BAC=120°时,点C的坐标为(+3,).
∵60°<∠BAC<120°,
∴点(+1,)在抛物线G2下方,点(+3,)在抛物线G2上方,
∴,
解得:.
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【题目】北京时间2019年4月10日人类首次直接拍摄到黑洞的照片,它是一个“超巨型”质量黑洞,位于室女座星系团中一个超大质量星系﹣M87的中心,距离地球5500万光年.数据“5500万光年”用科学记数法表示为( )
A.5500×104光年B.055×108光年
C.5.5×103光年D.5.5×107光年
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E是边AB的中点,△EBC沿直线EC翻折,使B点落在矩形ABCD内部的点P处,联结AP并延长AP交CD于点F,联结BP交CE于点Q.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)如果PA=PE,求证:△APB≌△EPC.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点C,B,E在y轴上,Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO,若点B的坐标为(0,1),OD=2,则这种变化可以是( )
A.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移5个单位长度
B.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移5个单位长度
C.△ABC绕点O顺时针旋转90°,再向左平移3个单位长度
D.△ABC绕点O逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度
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【题目】在ABCD中,点B关于AD的对称点为B′,连接AB′,CB′,CB′交AD于F点.
(1)如图1,∠ABC=90°,求证:F为CB′的中点;
(2)小宇通过观察、实验、提出猜想:如图2,在点B绕点A旋转的过程中,点F始终为CB′的中点.小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:过点B′作B′G∥CD交AD于G点,只需证三角形全等;
想法2:连接BB′交AD于H点,只需证H为BB′的中点;
想法3:连接BB′,BF,只需证∠B′BC=90°.
…
请你参考上面的想法,证明F为CB′的中点.(一种方法即可)
(3)如图3,当∠ABC=135°时,AB′,CD的延长线相交于点E,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,若P,Q为某个菱形相邻的两个顶点,且该菱形的两条对角线分别与x轴,y轴平行或重合,则称该菱形为点P,Q的“相关菱形”.图1为点P,Q的“相关菱形”的一个示意图.
已知点A的坐标为(1,4),点B的坐标为(b,0).
(1)若b=3,则R(﹣1,0),S(5,4),T(6,4)中能够成为点A,B的“相关菱形”顶点的是 ;
(2)若点A,B的“相关菱形”为正方形,求b的值;
(3)⊙B的半径为,点C的坐标为(2,4).若⊙B上存在点M,在线段AC上存在点N,使点M,N的“相关菱形”为正方形,请直接写出b的取值范围.
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【题目】某中学部分同学参加全国初中数学竞赛,取得了优异的成绩,指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都是整数,试题满分120分),并且绘制了“频率分布直方图”(如图).请回答:
(1)该中学参加本次数学竞赛的有多少名同学?
(2)如果成绩在90分以上(含90分)的同学获奖,那么该中学参赛同学的获奖率是多少?
(3)这次竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内?
(4)图中还提供了其它信息,例如该中学没有获得满分的同学等等,请再写出两条信息.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,CD=3cm,BC=4cm,连接BD,并过点C作CN⊥BD,垂足为N,直线l垂直BC,分别交BD、BC于点P、Q.直线l从AB出发,以每秒1cm的速度沿BC方向匀速运动到CD为止;点M沿线段DA以每秒1cm的速度由点D向点A匀速运动,到点A为止,直线1与点M同时出发,设运动时间为t秒(t>0).
(1)线段CN= ;
(2)连接PM和QN,当四边形MPQN为平行四边形时,求t的值;
(3)在整个运动过程中,当t为何值时△PMN的面积取得最大值,最大值是多少?
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