Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2．作△ABC的高CD，作△CDB的高DC1，作△DC1B的高C1D1，……，如此下去，那么得到的所有阴影三角形的面积之和为__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

易知所有白色部分的小直角三角形都与阴影部分的三角形相似，那么它们的面积比应该等于相似比的平方，它们的相似比为AC：CD，AC的长已知，根据直角三角形面积的不同表示方法可求得CD，由此求得阴影部分占△ABC面积的比例大小，从而可求得阴影部分的面积和．

∵DC1∥AC，

∴Rt△ACD∽△CDC1，同理可证：Rt△C1D1D∽Rt△C1D1C2，…；

即白色部分的小直角三角形与阴影部分的小直角三角形逐一对应相似，

∵如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，

∴AB=2AC=4，BC=

在Rt△ABC中，CD⊥AB，

由S=ACBC=ABCD，故CD=

∴AC：CD=2：

∴白色部分小直角三角形的面积和：阴影部分小直角三角形的面积和=AC2：CD2=4：3，

故S阴影=S△ABC=××2×2=．