Question

【题目】已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD＝DC，延长CB交⊙O于点E．

（1）如图1，求证：AE＝CE．

（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．若CF＝2CD，求sin∠CAB的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）sin∠CAB＝．

【解析】

（1）连接ED，如图1，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；
（2）连接ED， 根据EF是⊙OO的切线，得到，并由（1）可知，所以，利用，，得到，即有，利用，即可求出sin∠CAB的值．

解：（1）连接ED，如图1，

∵△ABC是直角三角形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝90°，

∴AE是⊙O的直径，

∴ED⊥AC，

∵AD＝DC，

∴ED为线段AC的中垂线，

∴AE＝CE；

（2）连接ED，如图2，

∵EF是⊙OO的切线，

∴，

由（1）可知，

∴，

∵，，

∴，，

即：，

∴

并且，

∴，

AE是⊙O的直径，

∴是直角三角形，

∴，

∴．