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【题目】RtABC中,∠BAC=90°,BC=10tanABC=,点OAB边上动点,以O为圆心,OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D,过点DAB的垂线,交⊙O于点E,联结BEAE

1)如图(1),当AEBC时,求⊙O的半径长;

2)设BO=xAE=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;

3)若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点DE,当⊙A恰好也过点C时,求DE的长.

【答案】(1)O的半径长为;(2y =,定义域(0x);(3)当A恰好也过点C时,DE的长为12

【解析】

1)如图1中,过点OOGBDGABDE的交点为F.首先证明AEBDDC10,再利用垂径定理求出BG,在RtBOD中,解直角三角形即可;

2)如图2中,过点AAHBCH,如图(2),首先求出ABACAH,根据yAEAD,即可解决问题;

3)分两种情形①若点DH的左边,如图(2),②若点DH的右边,分别求解即可解决问题.

1)过点OOGBDG,设ABDE的交点为F,如图(1),

OGBDG

BG=DG

DEAB

EF=DF

AEBC

∴∠AEF=∠BDF

AEFBDF中,

∴△AEF≌△BDF

AE=BD

∵∠BFD=∠BAC=90°

DEAC

AEBC

四边形AEDC是平行四边形,

AE=DC

BD=DC=BC=5

BG=DG=BD=

RtBGO中,

tanOBG==

OG=BG=×=

OB===

∴⊙O的半径长为

2)过点AAHBCH,如图(2),

RtBAC中,

tanABC==

AC=3k,则AB=4k

BC=5k=10

k=2

AC=6AB=8

AH===

BH==

HC=BCBH=10=

ABDE

根据垂径定理可得DF=EF

AB垂直平分DE

AE=AD

RtBGO中,

tanOBG==

OG=BG

OB===BG=x

BG=x

BD=2BG=x

DH=BHBD=x

y=AE=AD===

定义域(0x);

3若点DH的左边,如图(2),

AD=ACAHDC

DH=CH=

BD=BHDH==

RtBFD中,

tanFBD==

BF=DF

BD== DF=

DF=

DE=2DF=

若点DH的右边,

则点D与点C重合,

BD=BC=10

DF=10

DF=6

DE=2DF=12

综上所述:当A恰好也过点C时,DE的长为

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(1)如图1,若,请补全图形并求的长;

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想法2:过于点,先证出,再证点为线段的中点即可.

请你参考上面的想法,帮助小明证明(一种方法即可)

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2请将条形统计图补充完整;

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