【题目】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=10,tan∠ABC=,点O是AB边上动点,以O为圆心,OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D,过点D作AB的垂线,交⊙O于点E,联结BE、AE
(1)如图(1),当AE∥BC时,求⊙O的半径长;
(2)设BO=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E,当⊙A恰好也过点C时,求DE的长.
【答案】(1)⊙O的半径长为;(2)y =,定义域(0<x≤);(3)当⊙A恰好也过点C时,DE的长为或12.
【解析】
(1)如图1中,过点O作OG⊥BD于G设AB与DE的交点为F.首先证明AE=BD=DC=10,再利用垂径定理求出BG,在Rt△BOD中,解直角三角形即可;
(2)如图2中,过点A作AH⊥BC于H,如图(2),首先求出AB、AC、AH,根据y=AE=AD=,即可解决问题;
(3)分两种情形①若点D在H的左边,如图(2),②若点D在H的右边,分别求解即可解决问题.
(1)过点O作OG⊥BD于G,设AB与DE的交点为F,如图(1),
∵OG⊥BD于G,
∴BG=DG.
∵DE⊥AB,
∴EF=DF,
∵AE∥BC,
∴∠AEF=∠BDF.
在△AEF和△BDF中,
,
∴△AEF≌△BDF,
∴AE=BD.
∵∠BFD=∠BAC=90°,
∴DE∥AC.
∵AE∥BC,
∴四边形AEDC是平行四边形,
∴AE=DC,
∴BD=DC=BC=5,
∴BG=DG=BD=.
在Rt△BGO中,
tan∠OBG==,
∴OG=BG=×=,
∴OB===,
∴⊙O的半径长为;
(2)过点A作AH⊥BC于H,如图(2),
在Rt△BAC中,
tan∠ABC==,
设AC=3k,则AB=4k,
∴BC=5k=10,
∴k=2,
∴AC=6,AB=8,
∴AH===,
∴BH==,
∴HC=BC﹣BH=10﹣=.
∵AB⊥DE,
∴根据垂径定理可得DF=EF,
∴AB垂直平分DE,
∴AE=AD.
在Rt△BGO中,
tan∠OBG==,
∴OG=BG,
∴OB===BG=x,
∴BG=x,
∴BD=2BG=x,
∴DH=BH﹣BD=﹣x,
∴y=AE=AD===
定义域(0<x≤);
(3)①若点D在H的左边,如图(2),
∵AD=AC,AH⊥DC,
∴DH=CH=,
∴BD=BH﹣DH=﹣=.
在Rt△BFD中,
tan∠FBD==,
∴BF=DF,
∴BD== DF=,
∴DF=,
∴DE=2DF=;
②若点D在H的右边,
则点D与点C重合,
∴BD=BC=10,
∴DF=10,
∴DF=6,
∴DE=2DF=12.
综上所述:当⊙A恰好也过点C时,DE的长为
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【题目】在中,为线段上一点,为射线上一点,且,连接.
(1)如图1,若,请补全图形并求的长;
(2)如图2,若,连接并延长,交于点,小明通过观察、实验提出猜想:.小明把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:过作交的延长线于点,先证出,再证出是等腰三角形即可;
想法2:过作交于点,先证出,再证点为线段的中点即可.
请你参考上面的想法,帮助小明证明.(一种方法即可)
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【题目】通达桥即小店汾河桥,是太原新建成的一座跨汾大桥,也是太原首座悬索桥.桥的主塔由曲线形拱门组成,取意“时代之门”.无人机社团的同学计划利用无人机设备测量通达桥拱门的高度.如图,他们先将无人机升至距离桥面50米高的点C处,测得桥的拱门最高点A的仰角∠ACF为30°,再将无人机从C处竖直向上升高200米到点D处,测得点A的俯角∠ADG为45°.已知点A,B,C,D,E在同一平面内,求通达桥拱门最高点A距离桥面BE的高度AB.(结果保留整数,参考数据:≈1.41,≈1.73)
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【题目】已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A,B点,与y=(x<0)的图象交于C、D点,E是点C关于点A的中心对称点,EF⊥OA于F,若△AOD的面积与△AEF的面积之和为时,则k=_____.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2.作△ABC的高CD,作△CDB的高DC1,作△DC1B的高C1D1,……,如此下去,那么得到的所有阴影三角形的面积之和为__________.
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【题目】如图,点的坐标为,动点从点出发,沿轴以每秒个单位的速度向上移动,且过点的直线也随之移动,如果点关于的对称点落在坐标轴上,没点的移动时间为,那么的值可以是___.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,联结AP并延长AP交CD于F点,
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)如果PA=PC,联结BP,求证:△APB△EPC.
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【题目】小林在没有量角器和圆规的情况下,利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线,他的作法是这样的:如图:
(1)利用刻度尺在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON;
(2)利用两个三角板,分别过点M,N画OM,ON的垂线,交点为P;
(3)画射线OP.
则射线OP为∠AOB的平分线.请写出小林的画法的依据______.
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【题目】为积极响应市委政府“加快建设天蓝水碧地绿的美丽长沙”的号召,我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种.为了更好地了解社情民意,工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民,进行“我最喜欢的一种树”的调查活动(每人限选其中一种树),并将调查结果整理后,绘制成如图两个不完整的统计图:
请根据所给信息解答以下问题:
(1)这次参与调查的居民人数为: ;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数;
(4)已知该街道辖区内现有居民8万人,请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人?
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