Question

【题目】对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”.例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”（如图所示）.已知：y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1）.

（1）请说明a、c的数量关系并确定b的取值；

（2）请你确定a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）a与c互为相反数， b＝﹣1；（2）﹣≤a＜0或0＜a≤

【解析】

（1）把A、B的坐标代入函数解析式，即可求出答案；

（2）代入得出抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），得出对称轴为，再进行判断即可.

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），

∴a+b+c＝﹣1 ①，a﹣b+c＝1 ②

①+②得：a+c＝0 即a与c互为相反数，

①﹣②得：b＝﹣1；

（2）由（1）得：抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），

∴对称轴为，

当a＜0时，抛物线开口向下，且，

∵抛物线y＝ax2﹣x﹣a（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），

画图可知，当时符合题意，此时﹣≤a＜0，

当时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，

同理，当a＞0时，抛物线开口向上，且，

画图可知，当时符合题意，此时0＜a≤，

当时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，

综上所述：a的取值范围是﹣≤a＜0或0＜a≤.