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【题目】如图,在平面直角坐标系中有一直角三角形AOBO为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线yax2+bx+c经过点ABC

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,设抛物线对称轴lx轴交于一点E,连接PE,交CDF,求以CEF为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;(2)当CEF与COD相似时,P点的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3).

【解析】

(1)根据正切函数可得OB根据旋转的性质可得△DOC≌△AOB根据待定系数法可得函数解析式

(2)分两种情况讨论:当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD此时点P在对称轴上即点P为抛物线的顶点当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD过点PPMx轴于M得到EFC∽△EMP根据相似三角形的性质可得PMME的关系解方程可得t的值根据自变量与函数值的对应关系可得答案

1)在Rt△AOBOA=1,tan∠BAO3,∴OB=3OA=3.

∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的,∴△DOC≌△AOB,∴OCOB=3,ODOA=1,∴ABC的坐标分别为(1,0),(0,3),(﹣3,0),代入解析式为

解得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;

(2)∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,∴对称轴为l1,∴E点坐标为(﹣1,0),如图分两种情况讨论

当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD此时点P在对称轴上即点P为抛物线的顶点P(﹣1,4);

当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD过点PPMx轴于M,∵∠CFE=∠PME=90°,∠CEF=∠PEM,∴△EFC∽△EMP,∴,∴MP=3ME

∵点P的横坐标为t,∴Pt,﹣t2﹣2t+3).

P在第二象限,∴PM=﹣t2﹣2t+3,ME=﹣1﹣t,t<0,∴﹣t2﹣2t+3=3(﹣1﹣t),解得t1=﹣2,t2=3(与t<0矛盾舍去)

t=﹣2y=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3,∴P(﹣2,3).

综上所述当△CEF与△COD相似时P点的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3).

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