Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．

（1）求证：△ACD∽△BAC；

（2）求DC的长；

（3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DC＝6.4cm；（3）当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．

【解析】

（1）根据三角形相似的判定定理即可得到结论；

（2）由△ACD∽△BAC，得，结合＝8cm，即可求解；

（3）若△EFB为等腰三角形，可分如下三种情况：①当 BF＝BE时， ②当EF＝EB时，③当FB＝FE时，分别求出t的值，即可．

（1）∵CD∥AB，

∴∠BAC＝∠DCA，

又AC⊥BC，∠ACB＝90°，

∴∠D＝∠ACB＝90°，

∴△ACD∽△BAC；

（2）在Rt△ABC中，＝8cm，

由（1）知，△ACD∽△BAC，

∴ ，

即: ，解得：DC＝6.4cm；

（3）△BEF能为等腰三角形，理由如下：

由题意得：AF＝2t，BE＝t，

若△EFB为等腰三角形，可分如下三种情况：

①当 BF＝BE时，10﹣2t＝t，解得：t=；

②当EF＝EB时，如图1，过点E作AB的垂线，垂足为G，

则，此时△BEG∽△BAC，

∴，即 ，

解得：t=；

③当FB＝FE时，如图2，过点F作AB的垂线，垂足为H，

则，此时△BFH∽△BAC，

∴，即 ，

解得：；

综上所述：当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．