【题目】已知,如图,抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB,
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】(1);(2)四边形ABCD面积有最大值
.
【解析】
(1)已知B点坐标,易求得OB、OC的长,进而可将B、C的坐标代入抛物线中,求出待定系数的值,即可得出抛物线的解析式.
(2)根据A、C的坐标,易求得直线AC的解析式.由于AB、OC都是定值,则△ABC的面积不变,若四边形ABCD面积最大,则△ADC的面积最大;可过D作x轴的垂线,交AC于M,x轴于N;易得△ADC的面积是DM与OA积的一半,可设出N点的坐标,分别代入直线AC和抛物线的解析式中,即可求出DM的长,进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积.
(1)∵B(1,0),
∴OB=1;
∵OC=3BO,
∴C(0,﹣3);
∵y=ax2+3ax+c过B(1,0)、C(0,﹣3),
∴;
解这个方程组,得,
∴抛物线的解析式为:y=x2+
x﹣3;
(2)过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
在y=x2+
x﹣3中,令y=0,
得方程x2+
x﹣3=0解这个方程,得x1=﹣4,x2=1
∴A(﹣4,0)
设直线AC的解析式为y=kx+b
∴,
解这个方程组,得,
∴AC的解析式为:y=﹣x﹣3,
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
=+
DM(AN+ON)
=+2DM
设D(x,x2+
x﹣3),M(x,﹣
x﹣3),
DM=﹣x﹣3﹣(
x2+
x﹣3)=﹣
(x+2)2+3,
当x=﹣2时,DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值=+2×3=
.
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【题目】如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与
(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD//y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.
(1)当m=4,n=20时.
①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.
②若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,点D在AB边上,CD与OB交于点E,∠ACD=∠OBC;
(1)如图1,求证:CD⊥AB;
(2)如图2,当∠BAC=∠OBC+∠BCD时,求证:BO平分∠ABC;
(3)如图3,在(2)的条件下,作OF⊥BC于点F,交CD于点G,作OH⊥CD于点H,连接FH并延长,交OB于点P,交AB边于点M.若OF=3,MH=5,求AC边的长.
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【题目】如图,已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分别是BC、AD的中点,连接AE、CF.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)若AB=6,求菱形的面积.
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【题目】问题:如图1,等腰直角三角形中,
,点
、点
分别在
边上,且
,显然
.
变式:若将图1中的绕点
逆时针旋转,使得点
在
的内部,其它条件不变(如图2),请你猜想线段
与线段
的关系,并加以证明.
拓展:若图2中的、
都为等边三角形,其它条件不变(如图3),则
__________,直线
与
相交所夹的锐角为__________°.
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【题目】如图,四边形ABCD为圆内接四边形,对角线AC、BD交于点E,延长DA、CB交于点F.
(1)求证:△FBD∽△FAC;
(2)如果BD平分∠ADC,BD=5,BC=2,求DE的长;
(3)如果∠CAD=60°,DC=DE,求证:AE=AF.
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【题目】从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线 与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
如图1,在
中,
是
的完美分割线,且
, 则
的度数是
如图2,在
中,
为角平分线,
,求证:
为
的完美分割线.
如图2,
中,
是
的完美分割线,且
是以
为底边的等腰三角形,求完美分割线
的长.
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【题目】已知,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,使PA+PC的值最小?如果存在,请求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)设点M在抛物线的对称轴上,当△MAC是直角三角形时,求点M的坐标.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,BC>AD,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动,E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动,设运动时间为t秒(0<t<5).
(1)求证:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的长;
(3)试探究:△BEF可以为等腰三角形吗?若能,求t的值;若不能,请说明理由.
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