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【题目】如图,ABC内接于⊙O,点DAB边上,CDOB交于点E,∠ACD=∠OBC

1)如图1,求证:CDAB

2)如图2,当∠BAC=∠OBC+BCD时,求证:BO平分∠ABC

3)如图3,在(2)的条件下,作OFBC于点F,交CD于点G,作OHCD于点H,连接FH并延长,交OB于点P,交AB边于点M.若OF3MH5,求AC边的长.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3AC

【解析】

1)根据直径所对的圆周角是直角,得出∠FCB=90°,再根据同弧所对的圆周角相等得出∠A=F,再根据已知条件得∠3=90°,得CDAB
2)延长BOACK,由已知可得∠A=5,由∠A+2=90°得∠5+2=90°,根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=1得出BO平分∠ABC
3)延长BOAC于点K,延长CD交⊙O于点N,联结BN,由条件可得CH=NHBF=CF,从而HF是△CBN的中位线,HFBN,得出∠OEH=EHM又由∠OEH+EOH=EHM+OHP=90°可得HM=OB=5,在RtOBF中,根据勾股定理可得BF=4,解出BC=8sinOBC=,所以可得AC=2CKCK=BCsinOBC=AC=.

解:(1)如图1,令∠OBC=∠1,∠ACD=∠2

延长BO交⊙OF,连接CF

BF是⊙O的直径,∴∠FCB90°

∴∠1+F90°

∵弧BC=弧BC

∴∠A=∠F

又∵∠1=∠2

∴∠2+A90°

∴∠390°

CDAB

2)如图2,令∠OBC=∠1,∠BCD=∠4

延长BOACK

∵∠A=∠1+4,∠5=∠1+4

∴∠A=∠5

∵∠A+290°

∴∠5+290°

∴∠690°

∵∠7180°﹣∠390°

∴∠6=∠7

又∵∠5=∠8,∴∠9=∠2

∵∠2=∠1,∴∠9=∠1

BO平分∠ABC

3)如图3,延长BOAC于点K,延长CD交⊙O于点N,联结BN

OHCNOFBC

CHNHBFCF

HFCBN的中位线,HFBN

∴∠FHC=∠BNC=∠BAC

∵∠BAC=∠OEH,∠FHC=∠EHM

∴∠OEH=∠EHM

EMOE交于点P

∵∠OEH+EOH=∠EHM+OHP90°

∴∠EOH=∠OHP

OPPH

∵∠ADC=∠OHC90°

ADOH

∴∠PBM=∠EOH,∠BMP=∠OHP

PMPB

PM+PHPB+OP

HMOB5

RtOBF中,根据勾股定理可得BF4

BC8sinOBC

∵∠A+ABO=∠DEB+ABO90°

∴∠AKB+CKB90°

OKAC

AC2CKCKBCsinOBC

AC

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