【题目】如图,△ABC内接于⊙O,点D在AB边上,CD与OB交于点E,∠ACD=∠OBC;
(1)如图1,求证:CD⊥AB;
(2)如图2,当∠BAC=∠OBC+∠BCD时,求证:BO平分∠ABC;
(3)如图3,在(2)的条件下,作OF⊥BC于点F,交CD于点G,作OH⊥CD于点H,连接FH并延长,交OB于点P,交AB边于点M.若OF=3,MH=5,求AC边的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)AC=
【解析】
(1)根据直径所对的圆周角是直角,得出∠FCB=90°,再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F,再根据已知条件得∠3=90°,得CD⊥AB;
(2)延长BO交AC于K,由已知可得∠A=∠5,由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°,根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC;
(3)延长BO交AC于点K,延长CD交⊙O于点N,联结BN,由条件可得CH=NH,BF=CF,从而HF是△CBN的中位线,HF∥BN,得出∠OEH=∠EHM又由∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5,在Rt△OBF中,根据勾股定理可得BF=4,解出BC=8,sin∠OBC=,所以可得AC=2CK,CK=BCsin∠OBC=得AC=.
解:(1)如图1,令∠OBC=∠1,∠ACD=∠2
延长BO交⊙O于F,连接CF.
∵BF是⊙O的直径,∴∠FCB=90°
∴∠1+∠F=90°,
∵弧BC=弧BC,
∴∠A=∠F
又∵∠1=∠2,
∴∠2+∠A=90°,
∴∠3=90°,
∴CD⊥AB
(2)如图2,令∠OBC=∠1,∠BCD=∠4
延长BO交AC于K
∵∠A=∠1+∠4,∠5=∠1+∠4,
∴∠A=∠5,
∵∠A+∠2=90°,
∴∠5+∠2=90°,
∴∠6=90°
∵∠7=180°﹣∠3=90°,
∴∠6=∠7,
又∵∠5=∠8,∴∠9=∠2
∵∠2=∠1,∴∠9=∠1,
∴BO平分∠ABC
(3)如图3,延长BO交AC于点K,延长CD交⊙O于点N,联结BN
∵OH⊥CN,OF⊥BC
∴CH=NH,BF=CF
∴HF是△CBN的中位线,HF∥BN
∴∠FHC=∠BNC=∠BAC
∵∠BAC=∠OEH,∠FHC=∠EHM
∴∠OEH=∠EHM
设EM、OE交于点P
∵∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°
∴∠EOH=∠OHP
∴OP=PH
∵∠ADC=∠OHC=90°
∴AD∥OH
∴∠PBM=∠EOH,∠BMP=∠OHP
∴PM=PB
∴PM+PH=PB+OP
∴HM=OB=5
在Rt△OBF中,根据勾股定理可得BF=4
∴BC=8,sin∠OBC=
∵∠A+∠ABO=∠DEB+∠ABO=90°
∴∠AKB+∠CKB=90°
∴OK⊥AC
AC=2CK,CK=BCsin∠OBC=
∴AC=
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【题目】在平面直角坐标系中,己知,.点从点开始沿边向点以的速度移动;点从点开始沿边内点以的速度移动.如果、同时出发,用表示移动的时间.
(1)用含的代数式表示:线段_______;______;
(2)当为何值时,四边形的面积为.
(3)当与相似时,求出的值.
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【题目】定义:在平面直角坐标系中,我们将函数的图象绕原点逆时针旋转后得到的新曲线称为“逆旋抛物线”.
(1)如图①,己知点,在函数的图象上,抛物线的顶点为,若上三点、、是、、旋转后的对应点,连结,、,则__________;
(2)如图②,逆旋抛物线与直线相交于点、,则__________.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB的中点,点P从点E出发,沿E→A→D→C移动至终点C.设P点经过的路径长为x,△CPE的面积为y,则下列图象能大致反映y与x函数关系的是( )
A. B. C. D.
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【题目】某地区教育部门为了解初中数学课堂中学生参与情况,并按“主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目”四个项目进行评价.检测小组随机抽查部分学校若干名学生,并将抽查学生的课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(均不完整).请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)本次抽查的样本容量是 ;
(2)在扇形统计图中,“主动质疑”对应的圆心角为 度;
(3)将条形统计图补充完整;
(4)如果该地区初中学生共有60000名,那么在课堂中能“独立思考”的学生约有多少人?
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AB<BC.
(1)利用尺规作图,在AD边上确定点E,使点E到边AB,BC的距离相等(不写作法,保留作图痕迹);
(2)若BC=8,CD=5,则DE= .
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【题目】如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,
(1)求证:AC2=ABAD.
(2)求证:CE∥AD;
(3)若AD=4,AB=6,求AF的值.
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【题目】已知,如图,抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB,
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值.
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【题目】国庆期间,某风景区推出两种旅游观光活动付费方式:若人数不超过20人,人均缴费500元;若人数超过20人,则每增加一位旅客,人均收费降低10元,但是人均收费不低于350元.现在某单位在国庆期间组织一批贡献突出的职工到该景区旅游观光,支付了12000元观光费,请问:该单位一共组织了多少位职工参加旅游观光活动?
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