Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点.

（1）求证：∠ACD=∠DEC；（2）延长DE、CB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PE的长

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）PE=4.

【解析】

（1）根据同角的余角相等得到∠ACD=∠B，然后由圆周角定理可得结论；

（2）连结OE，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明OE∥CD，然后由△POE∽△PCD列出比例式，求解即可.

解：(1）证明：∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，∴∠BCD+∠B=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCD+∠ACD=90°，

∴∠ACD=∠B，

∵∠DEC=∠B,

∴∠ACD=∠DEC

（2）证明：连结OE

∵E为BD弧的中点.

∴∠DCE=∠BCE

∵OC=OE

∴∠BCE=∠OEC

∴∠DCE=∠OEC

∴OE∥CD

∴△POE∽△PCD，

∴

∵PB=BO，DE=2

∴PB=BO=OC

∴

∴

∴PE=4