Question

16．如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，
（1）sin∠BAC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，PC=$\frac{3}{4}\sqrt{2}$．
（2）求tan∠DPA的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中利用勾股定理可计算出AB，即可得到结论；
（2）作BH⊥PC于H点，则△BHC为等腰直角三角形，所以BH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，易得△PDB∽△PCA，所以$\frac{PD}{PC}$=$\frac{DB}{AC}$=$\frac{1}{3}$，利用DC=$\sqrt{2}$可得到PC=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，则PH=PC-CH=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，在Rt△PHB中，根据正切定义得到tan∠HPB的值，然后根据对顶角相等求解．

解答 解：（1）由勾股定理得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴CD=$\sqrt{2}$，
∵BD∥AC，
∴△BDP∽△ACP，
∴$\frac{PD}{PC}=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴PC=$\frac{3}{4}$CD=$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$；
故答案为：$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，$\frac{3}{4}\sqrt{2}$；

（2）过点B作BH⊥CD于H，
如图，∴△BHC为等腰直角三角形，
∴BH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵DB∥AC，
∴△PDB∽△PCA，
∴$\frac{PD}{PC}=\frac{DB}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
而DC=$\sqrt{2}$，
∴PC=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴PH=PC-CH=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
在Rt△PHB中，tan∠HPB=$\frac{BH}{PH}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}$=2，
∴tan∠APD=2．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义．