Question

6．背景介绍：这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“等分积周线”．
尝试解决：

（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．
（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5，AC=6．请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．

Answer 1

分析 （1）过△ABC的内心作直线即可．
（2）小华不会成功．直线CD可能平分△ABC的面积，若也平分周长，则AC=BC，与题中的AC≠BC冲突，故不会成功；
（3）①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求．②若直线不过顶点，可分以下三种情况考虑：（a）直线与BC、AC分别交于E、F，CF=5，CE=3；（b）直线与AB、AC分别交于M、N，AM=3，AN=5，（c）直线与AB、BC分别交于P、Q，此种情况不存在．则符合条件的直线共有三条．

解答 解：（1）如图（1）所示，分别作∠BAC与∠ABC的平分线AF，BE，两线交于点O，作直线CO交AB于D，直线CD即为所求；

（2）小华不会成功．
如图（2），若直线CD平分△ABC的面积，过C作CE⊥AB于E，
那么S_△ADC=S_△DBC，
∴$\frac{1}{2}$AD•CE=$\frac{1}{2}$BD•CE，
∴BD=AD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴小华不会成功；

（3）①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求．
②若直线不过顶点，可分以下三种情况：
（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图1所示，
过点E作EH⊥AC于点H，过点B作BG⊥AC于点G，
易求，BG=4，AG=CG=3，
设CF=x，则CE=8-x，
由△CEH∽△CBG，可得EH=$\frac{4}{5}$，
根据面积相等，可得$\frac{1}{2}$，
∴x=3（舍去，即为①）或x=5，
∴CF=5，CE=3，直线EF即为所求直线．
（b）直线与AB、AC分别交于M、N，如图2所示，
由（a）可得，AM=3，AN=5，直线MN即为所求直线．
（c）直线与AB、BC分别交于P、Q，如图4所示
过点A作AY⊥BC于点Y，过点P作PX⊥BC于点X
由面积法可得，AY=$\frac{24}{5}$，
设BP=x，则BQ=8-x，
由相似，可得PX=$\frac{24}{25}$，
根据面积相等，可得$\frac{1}{2}$，
∴x=$\frac{8+\sqrt{14}}{2}$（舍去）或x=$\frac{8-\sqrt{14}}{2}$．
而当BP=$\frac{8-\sqrt{14}}{2}$时，BQ=$\frac{8+\sqrt{14}}{2}$，舍去．
∴此种情况不存在，
综上所述，符合条件的直线共有三条．

点评 此题主要考查了相似三角形的综合应用以及相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论的数学思想得出是解题关键．