Question

【题目】如图，点是线段上除外任意一点，分别以、为边在线段的同旁作等边和等边，连接交于，连接交于，连接.

（1）求证：；

（2）求证：.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.

【解析】

出现两个等边三角形证全等时，往往要考虑两个三角形的公共角.

证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形，

∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，

∵∠DCA=∠ECB=60°，

∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，

∵

∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE=BD；

(2)△MNC是等边三角形．理由如下：

∵由（1）得，△ACE≌△DCB，

∴∠CAM=∠CDN，

∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，

∴∠DCN=60°，

在△ACM与△DCN中，
∵

∴△ACM≌△DCN(ASA)，

∴MC=NC，

∵∠MCN=60°，

∴△MCN为等边三角形．

∴∠MCA=∠CMN=60°，

∴MN∥AB.