Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b经过点P（2，2）和点Q（0，﹣2），与x轴交于点A，与直线y2＝mx+n交于点P．

（1）求出直线y1＝kx+b的解析式；

（2）求出点A的坐标；

（3）直线y2＝mx+n绕着点P任意旋转，与x轴交于点B，当△PAB是等腰三角形时，点B有几种位置？请你分别求出点B的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y1＝2x﹣2；（2）A（1，0）；（3）点B有4种位置使得△PAB为等腰三角形，坐标分别为（+1，0）、（3，0）、（3.5，0）、（1﹣，0）

【解析】

（1）利用待定系数法确定函数解析式；

（2）令y＝0，可求解；

（3）对于本题中的等腰△PAB的腰不确定，需要分类讨论：以PA为底和PA为腰．由两点间的距离公式和方程思想解答．

解：（1）把P（2，2）和点Q（0，﹣2）分别代入y1＝kx+b，得．

解得．

则直线y1＝kx+b的解析式为：y1＝2x﹣2；

（2）∵直线y1＝2x﹣2与x轴交于点A，

∴当y＝0时，0＝2x﹣2

∴x＝1，

∴点A（1，0）；

（3）解：过点P作PM⊥x轴，交于点M，

由题意可知A（1，0），M（2，0），AP＝，AM＝1

当m＞0时，点B有3种位置使得△PAB为等腰三角形

①当AP＝AB时，AB＝，

∴B（+1，0）

②当PA＝PB时，AB＝2AM＝2，

∴B（3，0）

③当BA＝BP时，设AB＝x，由等面积法可得S△ABP＝×2x＝××，

解得x＝2.5，

∴B（3.5，0）

当m＜0时，点B有1种位置使得△PAB为等腰三角形．

当AB＝AP时，OB＝﹣1，

∴B（1﹣，0）．

综上所述，点B有4种位置使得△PAB为等腰三角形，坐标分别为（+1，0）、（3，0）、（3.5，0）、（1﹣，0）．