Question

如图，一块含有30°的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置，若BC=3cm，则：
（1）顶点A从开始到结束共走过的路径有多长？（计算结果保留π）
（2）直角三角形ABC扫过的面积是多少？（计算结果保留π）

Answer 1

考点：弧长的计算,扇形面积的计算,旋转的性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC，再根据直角三角形两锐角互余求出∠ACB=60°，然后求出∠ACA′=120°，最后根据弧长公式即可得出顶点A从开始到结束共走过的路径即为弧的长度；
（2）直角三角形ABC扫过的面积是扇形CAA′的面积与三角形ABC面积的和．

解答：解：（1）∵∠A=30°，BC=3cm，
∴AC=2BC=2×3=6cm，
∴AB=3

3

cm，
∠ACB=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠ACA′=180°-60°=120°，
顶点A经过的路径长=

120•π•6

180

=4πcm，
（2）AC旋转到A′C所扫过的扇形面积=

120•π•62

360

=12πcm²，
S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×3

3

×3=

9 3

2

cm²，
∴直角三角形ABC扫过的面积=12π+

9 3

2

（cm²）．

点评：本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，以及弧长的计算，扇形的面积的计算，熟记各性质并求出AC的长度和∠ACA′=120°是解题的关键．