Question

如图，△CAB和△CDE都是等腰直角三角形（C是直角顶点），点A在DE边上，求证：AD²+AE²=2AC²．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：连结BE，根据等边三角形的性质就可以得出△ADC≌△BEC，就可以得出AD=BE，∠D=∠BEC，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠AEB=90°，由勾股定理就可以得出结论．

解答：证明：连结BE，
∵△ACB与△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠DCE=∠ACB=90°，∠D=∠AEC=∠CAB=45°，
DC=EC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，
∴2AC²=AB²．∠ECD-ACE=∠ACB-∠ACE，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ADC和△BEC中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=EC

，
∴△ADC≌△BEC（SAS）．
∴AD=BE，∠D=∠BEC．
∴∠BEC=45°，
∴∠BEC+∠AEC=90°，
即∠AEB=90°．
∴AE²+BE²=AB²，
∴AE²+AD²=2AC²．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．