Question

已知抛物线y=

1

2

x²+（k+

1

2

）x+k+1（k为常数）与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜0＜x₂），与y轴交于C，且满足（OA+OB）²=OC²+16，求此抛物线的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：根据题意表示出OA与OB，以及OC，代入已知等式中求出k的值，即可确定出抛物线解析式．

解答：解：∵抛物线y=

1

2

x²+（k+

1

2

）x+k+1（k为常数）与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜0＜x₂），与y轴交于C，
∴OA=-x₁，OB=x₂，OC=-k+1，且x₁+x₂=-

k+ 1 2

1 2

=-2k-1，x₁x₂=2k+2，
∵（OA+OB）²=OC²+16，
∴（-x₁+x₂）²=OC²+16，
∴（-x₁+x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2k+1）²-4（2k+2）=（-k+1）²+16，
解得：k₁=-2，k₂=4，
∵x₁＜0＜x₂，
∴x₁•x₂=2（k+1）＜0，即k＜-1，
∴k=-2，
∴抛物线解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-1．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握韦达定理是解本题的关键．