Question

【题目】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上的一动点．连接CE，过点B作BF⊥CE，垂足为F交直线CD于点G．

（1）如图l，当点E在线段AD上时，请直接判断AE与CG的数量关系；

（2）如图2，当点E在线段DB上时，（1）中AE与CG的数量关系是否依然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）当AC=2，且四边形DEFG的面积为时，请直接写出线段AE的长．

Answer 1

【答案】（1）AE=CG，理由见解析；（2）依然成立， AE=CG；理由见解析；（3）线段AE的长为1或3．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠A=∠ABC，根据同角的余角相等得到∠CBG=∠ACE，根据ASA证明△ACE≌△CBG，即可得出结论；
（2）同理即可证明△ACE≌△CBG，即可得出结论；
（3）由等腰直角三角形的性质得出AB=AC=4，CD=AB=AD=BD=2，CD⊥AB，证明△CDE≌△BDG，得出DE=DG，设DE=DG=x，则CG=2-x，CE= ，证明△CFG∽△CDE，得出 ，求出FG=，CF=，，由四边形DEFG的面积=△CDE的面积-△CFG的面积=，得出方程，解方程得出DE=1；再分两种情况，即可得出答案．

（1）AE=CG，理由如下：

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠ABC=45°．

∵点D是AB的中点，

∴∠BCG=∠ACB=45°，

∴∠A=∠BCG．

∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°．

∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠CBG=∠ACE，

在△ACE和△CBG中，，

∴△ACE≌△CBG（ASA），

∴AE=CG；

（2）（1）中AE与CG的数量关系依然成立，即AE=CG；理由如下：

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠ABC=45°．

∵点D是AB的中点，

∴∠BCG=∠ACB=45°，

∴∠A=∠BCG．

∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°．

∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠CBG=∠ACE，

在△ACE和△CBG中，，

∴△ACE≌△CBG（ASA），

∴AE=CG；

（3）∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，

∴AB=AC=4，CD=AB=AD=BD=2，CD⊥AB，

∴∠CDE=∠BDG=90°，

∴∠CED+∠DCE=90°，

∵BF⊥CE，

∴∠DBG+∠CED=∠90°，

∴∠DCE=∠DBG，

在△CDE和△BDG中，，

∴△CDE≌△BDG（ASA），

∴DE=DG，

设DE=DG=x，则CG=2-x，CE==，

∵∠CFG=∠CDE=90°，∠FCG=∠DCE，

∴△CFG∽△CDE，

∴==，即==，

解得：FG=，CF=，

∵四边形DEFG的面积=△CDE的面积-△CFG的面积=，

∴×x×2-××=，

解得：x=1，即DE=1；

①当点E在线段AD上时，AE=AD-DE=1；

②当点E在线段DB上时，AE=AD+DE=3；

综上所述，当AC=2，且四边形DEFG的面积为时，线段AE的长为1或3．