Question

【题目】如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方法一：

∵对称轴为直线x=2，

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+k．

将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：

，解得 ，

∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5

（2）

解：方法一：

当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．

设P（x，﹣x2+4x+5），

如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x2+4x+5，

∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．

S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME

= （PN+OF）ON﹣ PNMN﹣ OMOE

= （x+2）（﹣x2+4x+5）﹣ x（﹣x2+4x+4）﹣ ×1×1

=﹣x2+ x+

=﹣（x﹣ ）2+

∴当x= 时，四边形MEFP的面积有最大值为 ，

把x= 时，y=﹣（ ﹣2）2+9= ．

此时点P坐标为（ ， ）

方法二：

连接MF，过点P作x轴垂线，交MF于点H，

显然当S△PMF有最大值时，四边形MEFP面积最大．

当a=1时，E（1，0），F（2，0），

∵M（0，1），

∴lMF：y=﹣ x+1，

设P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣ t+1），

∴S△PMF= （PY﹣HY）（FX﹣MX），

∴S△PMF= （﹣t2+4t+5+ t﹣1）（2﹣0）=﹣t2+ t+4，

∴当t= 时，S△PMF最大值为 ，

∵S△MEF= EF×MY= ×1×1= ，

∴S四边形MEFP的最大值为 + =

（3）

解：方法一：

∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，

∴点P的纵坐标为3．

令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2± ．

∵点P在第一象限，∴P（2+ ，3）．

四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．

如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；

作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；

连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．

设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+ ，3），M2（1，﹣1）代入得：

，解得：m= ，n=﹣ ，

∴y= x﹣ ．

当y=0时，解得x= ．∴F（ ，0）．

∵a+1= ，∴a= ．

∴a= 时，四边形PMEF周长最小．

方法二：

∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，

∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+4x+5=0，解得：x=2± ，

∵点P在第一象限，∴P（2+ ，3），PM、EF长度固定，

当ME+PF最小时，PMEF的周长取得最小值，

将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1），

∵四边形MEFM1为平行四边形，

∴ME=M1F，

作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1），

∴M2F=M1F=ME，

当且仅当P，F，M2三点共线时，此时ME+PF=PM2最小，

∵P（2+ ，3），M2（1，﹣1），F（a+1，0），

∴KPF=KM1F，

∴ ，

∴a=

【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2 ， 则M2（1，﹣1）；连接PM2 ， 与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．