Question

如图，已知L₁⊥L₂，⊙O与L₁，L₂都相切，⊙O的半径为1cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与直线L₁，L₂重合，∠BCA=60°，若⊙O与矩形ABCD沿L₁同时向右移动，⊙O的移动速度为2cm，矩形ABCD的移动速度为3cm/s，设移动时间为t（s）

（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为

 

°；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O₁的位置，矩形ABCD到达A₁B₁C₁D₁的位置，此时点O₁，A₁，C₁恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO₁的长）；
（3）在移动过程中，求当对角线AC所在直线与圆O第二次相切时t的值．

Answer 1

考点：圆的综合题,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）连接OA，如图①，利用切线长定理及矩形的性质可求出∠OAD、∠DAC，就可求出∠OAC的度数．
（2）设⊙O₁与l₁的切点为N，连接O₁N，如图②，在Rt△A₁O₁N中，利用三角函数可求出A₁N的长，然后再利用A₁N=AA₁-AE-EN求出t的值，就可解决问题．
（3）当直线AC与⊙O第二次相切时，设⊙O₂与直线l₁、A₂C₂分别相切于点F、G，连接O₂F、O₂G、O₂A₂，如图③，在Rt△A₂O₂F中，利用三角函数可求出A₂F的长，然后利用AF两种表示方法建立关于t的方程，就可解决问题．

解答：解：（1）连接OA，如图①．
∵L₁⊥L₂，⊙O与L₁、L₂都相切，
∴∠OAD=45°．
∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
∴∠DAC=∠BCA=60°，
∴∠OAC=∠OAD+∠DAC=105°，
故答案为：105．


（2）当O₁、A₁、C₁恰好在同一直线上时，如图②，
设⊙O₁与l₁的切点为N，
连接O₁N，则有O₁N⊥l₁．
在Rt△A₁O₁N中，
∵∠O₁A₁N=∠C₁A₁D₁=60°，
∴O₁N=A₁N•tan∠O₁A₁N=

3

A₁N．
∵O₁N=1，∴

3

A₁N=1，
∴A₁N=

3

3

．
∵A₁N=AA₁-AE-EN=AA₁-OE-OO₁=3t-1-2t=t-1，
∴t-1=

3

3

，
∴t=

3

3

+1，
∴OO₁=2t=

2 3

3

+2．
∴圆心O移动的距离为（

2 3

3

+2）cm．

（3）当直线AC与⊙O第二次相切时，如图③，
此时⊙O移动到⊙O₂的位置，矩形ABCD移动到A₂B₂C₂D₂的位置，
设⊙O₂与直线l₁、A₂C₂分别相切于点F，G，连接O₂F，O₂G，O₂A₂，
则有O₂F⊥l₁，O₂G⊥A₂C₂，∠GA₂O₂=∠FA₂O₂．
∵∠GA₂F=∠C₂A₂D₂=60°，∴∠O₂A₂F=30°．
在Rt△A₂O₂F中，
∵O₂F=1，∠O₂A₂F=30°，
∴O₂F=A₂F•tan30°=

3

3

A₂F=1，
∴A₂F=

3

．
∵AF=AA₂-A₂F=3t-

3

，AF=AE+EF=OE+OO₂=1+2t，
∴3t-

3

=1+2t，
∴t=

3

+1．
∴当对角线AC所在直线与圆O第二次相切时t的值为（

3

+1）秒．

点评：此题主要考查了切线的性质、切线长定理、锐角三角函数、矩形的性质等知识，利用一条线段的两种表示方法建立关于t的方程是解决第（2）小题与第（3）小题的关键．