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【题目】如图,平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣x+b(b为常数,b>0)的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C,与y轴相交于点D、E,点D在点E上方.

(1)若直线AB与有两个交点F、G.

①求∠CFE的度数;

②用含b的代数式表示FG2,并直接写出b的取值范围;

(2)设b≥5,在线段AB上是否存在点P,使∠CPE=45°?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)45°;(24≤b5(3)存在 P ).

【解析】试题分析:(1)①∠EOC和∠EFC所对的圆心角和圆周角,根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半进行求解即可;

②过OOMFG于点M,连接OF,先求出一次函数图像与x轴、y轴交点AB的坐标,然后根据勾股定理求出AB的长,进而利用面积法求出OM的长,再利用勾股定理表示出FM2,再由垂径定理得FG2FM,进而可以表示出FG2,再根据式子写出b的范围;

(2)根据前面结论OM,当b5时,直线与圆相离,当b5时,直线与圆相切,连接OP,根据两直线垂直时比例系数的积为-1求出OP的解析式,然后联立两个解析式即可求出点P的坐标.

试题解析:

解:(1)①∵∠COE90°

∴∠CFECOE45°

②如图,作OMABM,连接OF

∵直线的函数式为:y

B的坐标为(0b),A的坐标为(0),

AB

Rt△OBC中,由面积法可得

OA·OBAB·OM

易得:OM

OF4

FM2OF2OM2422

OMFG

FG2FM

FG24FM24×[422 ]64b2

∵直线AB有两个交点FG

∴4≤b5

(2)存在.

如图,

b5时,OM4,∴直线与圆相离,∠CPE45°;

b5时,OM4,∴直线与圆相切,

DE是直径,

∴∠DCE90°

CODE,且DOEO

∴∠ODC=∠OEC45°

∴∠CPEODC45°

∴存在点P,使∠CPE45°,

连接OP

P是切点,∴OPAB,∴OP所在的直线为:y=

又∵AB所在的直线为:y5

解得

P ).

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