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【题目】如图1,已知为正方形的中心,分别延长到点 到点,使 ,连结,将△绕点逆时针旋转角得到△(如图2).连结

(Ⅰ)探究的数量关系,并给予证明;

(Ⅱ)当 时,求:

的度数;

的长度.

【答案】(1)证明见解析(2)①30°②

【解析】(1)首先证明△AOE′≌△BOF′,根据全等三角形的对应边相等,即可证得;

(2)①延长OA到M,使AM=OA,则OM=OE′.易证△OME′是等边三角形,据此∠AE′O的度数即可求得;②在直角△AOB中,利用三角函数即可求得OB的长,然后在直角△OBF′中利用三角函数求得BF′的长.

本题解析:如图:

(1)∵正方形ABCD中,OA=OD=OB,

又∵OF=2OA,OE=2OD,

∴OE=OF,则OE′=OF′,

在△AOE′和△BOF′中,

∴△AOE′≌△BOF′

∴AE′=BF′;

(2)①延长OA到M,使AM=OA,则OM=OE′.

∵正方形ABCD中,∠AOD=90°,

∴∠AOE′=90°﹣30°=60°,

∴△OME′是等边三角形,

又∵AM=OA,

∴AE′⊥OM,

则∠E′AO=90°,

∴∠AOE′=90°﹣α=60°,

∴在直角△AOE′中,∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°;

②∵∠AOE′=90°﹣α=60°,∠E′OF′=90°,

∴∠AOF′=30°,

又∵∠AOB=90°,

∴∠BOF′=60°,

又∵等腰直角△AOB中,OB=AB=

∴在Rt△ABE'中得到AE'=OA=

又BF'=AE'

∴BF′=

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(3)请在平面直角坐标系xOy中,描出表中各对对应值为坐标的点,并画出该函数的图象;

(4)结合函数的图象,写出函数的一条性质.

x

﹣5

﹣4

﹣3

﹣2

0

1

2

m

4

5

y

2

3

﹣1

0

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