Question

【题目】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°)．

（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．

（2）当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度数及对应情况下的平行线(不必说明理由)；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（2）存在. 当∠ACE=30°时，AD∥BC；当∠ACE=45°时，AC∥BE；当∠ACE=120°时，AD∥CE；当∠ACE=135°时，BE∥CD；当∠ACE=165°时，BE∥AD．

【解析】

（1）由∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE可得出结论；（2）分∠ACE=30°，45°，120°，135°及165°进行解答．

（1）∠ACB+∠DCE=180°，理由是：

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB

∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°

（2）存在. 当∠ACE=30°时，AD∥BC，理由如下，如图1所示：

∵∠ACE=∠DCB=30°，∠D=30°，

∴∠DCB=∠D，

∴AD∥BC；

当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE，理由如下，如图2所示：

∵∠ACE=∠DCB=45°，∠B=45°，

∴BE⊥CD，

又∵AC⊥CD，

∴AC∥BE；

当∠ACE=120°时，AD∥CE，理由如下，如图3所示：

∵∠ACE=120°，

∴∠DCE=120°-90°=30°，

又∵∠D=30°，

∴∠DCE=∠D，

∴AD∥CE；

当∠ACE=135°时，BE∥CD，理由如下，如图4所示：

∵∠ACE=135°，

∴∠DCE=135°-90°=45°，

∵∠E=45°，

∴∠DCE=∠E，

∴BE∥CD；

当∠ACE=165°时，BE∥AD．理由如下：

延长AC交BE于F，如图5所示：

∵∠ACE=165°，

∴∠ECF=15°，

∵∠E=45°，

∴∠CFB=∠ECF+∠E=60°，

∵∠A=60°，

∴∠A=∠CFB，

∴BE∥AD．