Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质

专题：证明题

分析：先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．

解答：证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，
∴∠BAD+∠EAB=

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（∠BAC+∠FAB）=90°，
∵BE⊥AE，
∴DA∥BE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，
∴∠ABC=∠EAB，
∴AE∥BD，
∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，
∴四边形AEBD为矩形，
∴AB=DE．

点评：本题主要考查矩形的判定和性质，由角平分线及等腰三角形的性质证明AE∥BD是解题的关键．