Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．试猜想线段AE、EF、BF之间的关系，并加以证明．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：探究型

分析：根据圆周角定理得∠ACB=90°，利用角平分线的定义得∠ACD=∠BCD=45°，由于AE⊥CD，则可判断△ACE等腰直角三角形，得到AE=CE，同理得CF=FB，于是FB=CF=CE+EF=AE+EF．

解答：证明：FB=AE+EF．理由如下：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
又∵AE⊥CD，
∴△ACE等腰直角三角形，
∴AE=CE，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DAB=45°，
又∵BF⊥CD，
∴△CFB为等腰直角三角形，
∴CF=FB，
∴FB=CF=CE+EF=AE+EF．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质．