Question

已知，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH=CE，K在BC边上，且BK=CE，求证：四边形AKFH为正方形．

Answer 1

考点：正方形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠DCB=∠B=∠ADC=90°，∠GCE=∠E=∠GFE=∠CGF=90°，求出∠ADH=∠HGF=∠E=∠B=90°，BK=GF=DH=EF，KE=GH=AB=AD，证△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，根据全等三角形的性质推出AK=KF=HF=AH，∠BAK=HAD，求出∠HAK=∠BAD=90°，根据正方形的判定得出即可．

解答：证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠DCB=∠B=∠ADC=90°，∠GCE=∠E=∠GFE=∠CGF=90°，
∴∠ADH=∠HGF=∠E=∠B=90°，
∵DH=CE，BK=CE，
∴BK=GF=DH=EF，KE=GH=AB=AD，
在△ABK、△KEF、△HGF、△ADH中

AB=KE=HG=AD ∠B=∠E=∠HGF=∠ADH BK=EF=GF=DH

∴△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，
∴AK=KF=HF=AH，∠BAK=HAD，
∵∠BAD=90°，
∴∠HAK=∠HAD+∠DAK=∠BAK+∠DAK=∠BAD=90°，
∴四边形AKFH为正方形．

点评：本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，注意：有一个角是直角的菱形是正方形．