Question

如图，MN是BC边上的垂直平分线，射线AD交MN于点M，交BC于点D，连接BM．若∠BAM=∠CAM，求证：∠BAM+∠BMN=90°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：过点M作ME⊥AB，垂足为E，MF⊥AC，垂足为F，连接MC，由ME⊥AB，MF⊥AC，所以∠3=∠4=90°，由四边形的内角和为360°，可得∠BAC+∠EMF=180°，由∠1=∠2，且ME⊥AB，MF⊥AC，可得ME=MF，由MN是BC边上的垂直平分线，可得BM=MC，进而得到Rt△BME≌Rt△CMF（HL），所以∠5=∠6，所以∠5+∠EMC=∠6+∠EMC，即：∠EMF=∠BMC，由MN是BC边上的垂直平分线，所以BM=CM，所以∠BMN=∠CMN=

1

2

∠BMC，所以∠BAM+∠BMN=

1

2

∠BAC+

1

2

∠BMC=

1

2

（∠BAC+∠BMC）=

1

2

×180°=90°．

解答：证明：过点M作ME⊥AB，垂足为E，MF⊥AC，垂足为F，连接MC，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，
∴∠3=∠4=90°，
∵四边形的内角和为360°，
即∠3+∠4+∠BAC+∠EMF=360°，
∴∠BAC+∠EMF=180°，
∵∠BAM=∠CAM，即∠1=∠2，
且ME⊥AB，MF⊥AC，
∴ME=MF，
∵MN是BC边上的垂直平分线，
∴BM=MC，
在Rt△BME和Rt△CMF中，

BM=CM EM=FM

，
∴Rt△BME≌Rt△CMF（HL），
∴∠5=∠6，
∴∠5+∠EMC=∠6+∠EMC，
即：∠EMF=∠BMC，
∵∠BAC+∠EMF=180°，
∴∠BAC+∠BMC=180°，
∵∠BAM=∠CAM，
∴∠BAM=

1

2

∠BAC，
∵MN是BC边上的垂直平分线，
∴BM=CM，
∴∠BMN=∠CMN=

1

2

∠BMC，
∴∠BAM+∠BMN=

1

2

∠BAC+

1

2

∠BMC=

1

2

（∠BAC+∠BMC）=

1

2

×180°=90°．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是：正确添加辅助线．