Question

已知△ABC和△EDC都是等边三角形，将∠CDE绕C点旋转．
（1）如图1，当边CD、CE分别在BC、AC上时，求证：∠AEB=∠EBD+60°；
（2）如图2，当CD在BC的上方时，猜想∠AEB和∠EBD的度数的数量关系，并给予证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据三角形内角与外角的性质可直接得到∠C+∠EBC=∠AEB；
（2）首先证明△BDC≌△AEC可得∠1=∠2，再根据三角形内角与外角的性质可得∠1+∠AEB=∠EBD+∠2+∠ACB，进而可得∠AEB=∠EBD+60°．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵边CD、CE分别在BC、AC上，
∴∠C+∠EBC=∠AEB，
∴∠AEB=∠EBD+60°；

（2）解：∠AEB=∠EBD+∠ACB=∠EBD+60°；
理由：∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴EC=DC，AC=CB，∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△BDC和△AEC中

EC=DC ∠DCB=∠ECA AC=BC

，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠AEB=∠3，∠EBD+∠2+∠ACB=∠3，
∴∠1+∠AEB=∠EBD+∠2+∠ACB，
∴∠AEB=∠EBD+∠ACB=∠EBD+60°．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角与外角的性质，关键是掌握①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．