Question

小芳想在边长为16cm的等边三角形中剪下一个最大的矩形，她是这样想的，将等边△ABC沿高作AD对折，使AB与AC边重合，在AC上找一个点E作EF⊥DC、EG⊥AD，交DC、AD于F、G，设AE=x，截下GE、EF两边得到的矩形面积最大值为y，请问x为多少时，y取最大值？最大值为多少？

Answer 1

考点：相似三角形的应用,二次函数的最值

专题：

分析：作出图形，根据等边三角形的性质求出AD，EG=

1

2

x，再根据相似三角形对应高的比等于相似比求出GD，然后根据矩形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：∵等边△ABC的边长为16cm，
∴AD=

3

2

×16=8

3

cm，EG=

1

2

x，
∵EG⊥AD，
∴△AEG∽△ADC，
∴

AG

AD

=

EG

CD

，
即

8 3 -GD

8 3

=

1 2 x

8

，
解得GD=8

3

-

3

2

x，
所以，y=（8

3

-

3

2

x）•（2•

1

2

x），
=-

3

2

（x-8）²+32

3

，
所以，x=8时，y_最大=32

3

．

点评：本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，翻折的性质，二次函数的最值问题，熟记性质是解题的关键．