Question

【题目】对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”。

(1)请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；

(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数。若四位数m为“极数”,记D(m)=,求满足D(m)是完全平方数的所有m.

Answer 1

【答案】（1）1287，2376，8712，任意一个“极数”都是99的倍数，理由见解析；（2）D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．

【解析】

（1）先直接利用“极数”的意义写出三个，设出四位数n的个位数字和十位数字，进而表示出n，即可得出结论；
（2）先确定出四位数m，进而得出D（m），再再根据完全平方数的意义即可得出结论．

解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，

任意一个“极数”都是99的倍数，

理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）

∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），

∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝9900﹣990y﹣99x＝99（100﹣10y﹣x），

∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，

∴100﹣10y﹣x是整数，

∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，

即：任意一个“极数”都是99的倍数；

（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）

∴m＝99（100﹣10y﹣x），

∵m是四位数，

∴m＝99（100﹣10y﹣x）是四位数，

即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，

∵D（m）＝＝3（100﹣10y﹣x），

∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303

∵D（m）完全平方数，

∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，

∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，

∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．