Question

5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=42°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）把（1）中∠A=42°这个条件去掉，试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系．

Answer 1

分析 （1）先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，求出∠1+∠2的度数，根据三角形内角和定理求出∠BOC即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，然后用∠A表示出∠1+∠2，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠A=42°，
∴∠1+∠2=180°-∠A=138°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}×138°$=69°，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-69°=111°；

（2）∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180$-\frac{1}{2}（180°-∠A）$=90$°+\frac{1}{2}∠A$．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．