Question

8．如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，∠ECF=45°，CF交AD于点F，判断直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆的位置关系并说明理由．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先证明CE=CG，∠ECF=∠GCF，此为解决该题的关键性结论；其次证明△ECF≌△GCF，得到∠EFC=∠DFC，此为解决该题的又一关键性结论；运用角平分线的性质得到CH=CD，即可解决问题．

解答 解：直线EF与⊙C相切；理由如下：
过点C作CH⊥EF于点H；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠D=∠BCD=90°，CB=CD；
将△CBE绕点C顺时针旋转90°，
到△CDG的位置，则CE=CG，
∠BCE=∠DCG；
∴∠GCF=∠BCE+∠FCD；
∵∠ECF=45°，
∴∠BCE+∠FCD=90°-45°=45°，
∴∠ECF=∠GCF；
在△ECF与△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CG}\\{∠ECF=∠GCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△GCF（SAS），
∴∠EFC=∠DFC；而CD⊥FD，CH⊥EF，
∴CH=CD，即圆心C到直线EF的距离等于⊙C的半径，
∴直线EF与⊙C相切．

点评 该题以正方形和圆为载体，以考查切线的判定为核心构造而成；同时还渗透了对全等三角形的判定及其性质、角平分线的性质等知识点的考查；解题的方法是作旋转变换，将分散的条件集中．