Question

13．如图1，锐角△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，若⊙O的半径为2$\sqrt{3}$．
（1）求BC的长度；
（2）如图2，过点A作AH⊥BC于点H，若AB+AC=12，求AH的长度．

Answer 1

分析 （1）首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，由圆周角定理，即可求得∠BOC的度数，继而求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质，求得BD的长，继而求得答案；
（2）设点G为此三角形ABC内切圆的圆心（角平分线的交点），过G分别向AB，AC，BC作垂线GM，GN，GQ，根据角平分线的性质可知GM=GN=GQ，CQ=CN，BQ=BM，AM=AN，故AM+AN=AB+AC-BC=6，AM=AN=3．在Rt△AGM中，根据锐角三角函数的定义得出GM的长，再由S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=S_△ABQ+S_△BCQ+S_△ACQ即可得出结论．

解答 解：（1）连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=$\frac{180°-∠BOC}{2}$=30°，
∵OB=2$\sqrt{3}$，
∴BD=OB•cos30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∴BC=2BD=6．

（2）设点G为此三角形ABC内切圆的圆心（角平分线的交点），过G分别向AB，AC，BC作垂线GM，GN，GQ，
∵GM=GN=GQ，CQ=CN，BQ=BM，AM=AN，
∴AM+AN=AB+AC-BC=6，
∴AM=AN=3．
在Rt△AGM中，
∵∠GAM=30°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=S_△ABQ+S_△BCQ+S_△ACQ
=$\frac{1}{2}$AB•GM+$\frac{1}{2}$BC•GQ+$\frac{1}{2}$AC•GM
=$\frac{1}{2}$GM（AB+AC+CB）
=9$\sqrt{3}$，
∴AH=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．