Question

17．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③-1≤a≤-$\frac{2}{3}$；④4ac-b²＞8a；
其中正确的结论是（　　）

• A． ①③④
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），从而可知当x＞3时，y＜0；
②由抛物线开口向下可知a＜0，然后根据x=-$\frac{b}{2a}$=1，可知：2a+b=0，从而可知3a+b=0+a=a＜0；
③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），则y=ax²-2ax-3a，令x=0得：y=-3a．由抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，可知2≤-3a≤3．④由4ac-b²＞8a得c-2＜0与题意不符．

解答 解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当x＞3时，y＜0，故①正确；
②抛物线开口向下，故a＜0，
∵x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0．
∴3a+b=0+a=a＜0，故②正确；
③设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），则y=ax²-2ax-3a，
令x=0得：y=-3a．
∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤-3a≤3．
解得：-1≤a≤-$\frac{2}{3}$，故③正确；
④．∵抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤c≤3，
由4ac-b²＞8a得：4ac-8a＞b²，
∵a＜0，
∴c-2＜$\frac{{b}^{2}}{4a}$
∴c-2＜0
∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．
故选：B．

点评 本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．