Question

17．已知函数y=（m-1）x²+x-m+2（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有交点；
（2）当m为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x轴的另一个交点；
（3）在（2）的情况下，怎样平移使得顶点落在x轴上，直接写出平移前后图象、对称轴和y轴围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）分类讨论m=1或m≠1时，函数图象与x轴的交点情况；
（2）根据函数y=（m-1）x²+x-m+2过原点求出m的值，进而求出函数图象与x轴的另一个交点；
（3）首先求出函数y=x²+x的顶点坐标，然后结合平移知识即可求出平移前后图象、对称轴和y轴围成的图形的面积．

解答 （1）证明：∵若m=1时，函数为一次函数，与x轴有交点，
若m≠1时，函数为二次函数，y=（m-1）x²+x-m+2
△=1-4（m-1）（2-m）=（2m-3）²≥0，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有交点；

（2）解：∵函数y=（m-1）x²+x-m+2过原点，
∴-m+2=0，
∴m=2，
∴y=x²+x，
令y=x²+x=0，
解得x=0或x=-1，
∴函数图象与x轴的另一个交点为（-1，0）；

（3）解：∵y=x²+x，
∴y=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴顶点为$（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{4}）$，
∴函数的图象向上平移$\frac{1}{4}$个单位顶点落在x轴上，
围成部分面积利用平移转化成平行四边形PQMN，面积为$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点以及二次函数图象的平移的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及割补法求不规则图形的面积，此题难度一般．