Question

3．如图1，已知直线$y=-\frac{1}{2}x+2$交坐标轴于A，B两点，C为OA上一点，且AC=BC．
（1）求点C坐标；
（2）如图2，BE平分∠OBC，AE⊥AB交BE于E点，双曲线$y=\frac{k}{x}$（x＞0）经过E点，求k．

Answer 1

分析 （1）先求出A点和B点坐标，设C（t，0），则AC=4-t=BC，在Rt△OBC中利用勾股定理得2²+t²=（4-t）²，然后解方程求出t的值即可得到点C的坐标；
（2）延长AE交y轴于F，BE交x轴于点D，如图，先证明Rt△ABO∽Rt△FAO，利用相似比求出OF=8，则F（0，-8），于是可根据待定系数法求出直线AF的解析式为y=2x-8，
由于BD平分∠OBC，根据角平分线定理得到$\frac{OD}{CD}$=$\frac{OB}{BC}$=$\frac{4}{5}$，而OD+CD=$\frac{3}{2}$，则可计算出OD=$\frac{2}{3}$，得到D（$\frac{2}{3}$，0），然后利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=-3x+2，接着根据两直线的交点问题通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+2}\\{y=2x-8}\end{array}\right.$得E点坐标为（2，-4），最后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．

解答 解：（1）当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x+2=2，则B（0，2），
当y=0时，=-$\frac{1}{2}$x+2=0，解得x=4，则A（4，0），
设C（t，0），则AC=4-t，
∵AC=BC，
∴BC=4-t，
在Rt△OBC中，∵OB²+OC²=BC²，
∴2²+t²=（4-t）²，解得t=$\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）；

（2）延长AE交y轴于F，BE交x轴于点D，如图，
∵AE⊥AB，
∴∠BAO+∠FAO=90°，
∵∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠FAO，
∴Rt△ABO∽Rt△FAO，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{OA}{OF}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{4}{OF}$，解得OF=8，
∴F（0，-8），
设直线AF的解析式为y=ax+b，
把A（4，0），F（0，-8）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=0}\\{b=-8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴直线AF的解析式为y=2x-8，
∵B（0，2），C（$\frac{3}{2}$，0），
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∵BD平分∠OBC，
∴$\frac{OD}{CD}$=$\frac{OB}{BC}$=$\frac{2}{\frac{5}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
而OD+CD=$\frac{3}{2}$，
∴OD+$\frac{5}{4}$OD=$\frac{3}{2}$，解得OD=$\frac{2}{3}$，
∴D（$\frac{2}{3}$，0），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
把B（0，2），D（$\frac{2}{3}$，0）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{\frac{2}{3}m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-3x+2，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+2}\\{y=2x-8}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴E点坐标为（2，-4），
∴E点在双曲线$y=\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=2×（-4）=-8．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求一次函数解析式；会求两一次函数图象的交点坐标．