Question

13．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC=BD．若A到河岸CD的中点的距离为500米．
（1）牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？用尺规作图在图中画出来．
（2）最短路程是多少？

Answer 1

分析 （1）如图，作点A关于河岸CD的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把羊赶到河边饮水再回家，根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A′B，得到最短距离为A′B，再根据相似三角形的性质得出CM=DM从而得出在CD的中点处饮水所走路程最短；
（2）根据A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值．

解答 解：（1）作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．

易得△A′CM∽△BDM，
因为AC=BD，所以A′C=BD，则$\frac{A′C}{BD}$=$\frac{CM}{MD}$，
所以CM=DM，M为CD的中点，
所以牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，在CD的中点处饮水，所走路程最短
（2）因为A到河岸CD的中点的距离为500米，
所以A′到M的距离为500米，
所以A′B=1000米．
故最短距离是1000米．

点评 此题考查了轴对称的性质和“两点之间线段最短”，解答时要注意应用相似三角形的性质．