Question

【题目】在矩形中，，，是边上一点，以点为直角顶点，在的右侧作等腰直角．

（1）如图1，当点在边上时，求的长；

（2）如图2，若，求的长；

（3）如图3，若动点从点出发，沿边向右运动，运动到点停止，直接写出线段的中点的运动路径长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）线段的中点的运动路径长为．

【解析】

（1）如图1中，证明△ABE≌△ECF（AAS），即可解决问题．

（2）如图2中，延长DF，BC交于点N，过点F作FM⊥BC于点M．证明△EFM≌△DNC（AAS），设NC=FM=x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

（3）如图3中，在BC上截取BM=BA，连接AM，MF，取AM的中点H，连接HQ．由△ABE∽△AMF，推出∠AMF=∠ABE=90°，由AQ=FQ，AH=MH，推出，HQ∥FM，推出∠AHQ=90°，推出点Q的运动轨迹是线段HQ，求出MF的长即可解决问题．

（1）如图1中，

四边形是矩形，

，

，，

，，

，

，

．

（2）如图2中，延长，交于点，过点作于点．

同理可证，

设，则，

，，

，

，

，

，，，

即在中，，

在中，，

在中，，

即，解得或（舍弃），即，

（3）如图3中，在上截取，连接，，取的中点，连接．

，

，

，

，

，，

，，

，，

，

点的运动轨迹是线段，

当点从点运动到点时，，

，

，

线段的中点的运动路径长为．