Question

【题目】已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，O是AB边的中点，P是AC边上的动点，OE⊥OP交BC边于点E，连接PE.

（1）如图①，当P与C重合时，线段PE的长为___________；

（2）如图②，当P在AC边上运动时，

①探究：线段PA，PE，EB之间的数量关系，并证明你的结论；

②若设PA=，PE2=y，求y与x之间的函数关系式及线段PE的最小值.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）①PA2+EB2=PE2，证明见解析.②y=x25x+25 2

【解析】分析：（1）根据中线定理和直角三角形斜边上的中线分别表示出AB、OA的长度，再证明△COE∽△BCD即可.

（2）①如下图②，先判断△BOM≌△AOP，可得：BM2+EB2=ME2，又∵OE⊥PM，OM=OP，∴ME=PE，即可证明BM2+EB2=ME2.

②求出y与x之间的函数关系式即可解答.

详解：（1）在Rt△ABC中，AB=,

∵O是AB中点，∴OA=CO=BO=AB=2.

∴∠OCB=∠B，又∵OE⊥OP，∴∠COE=∠A=90°.

∴△COE∽△BCD，

∴，即：，∴CE=5.

（2）①三者的数量关系为PA2+EB2=PE2.

证明：如图②，延长PO到M，使OM=OP，连接BM，EM，

∵O是AB边的中点，∴0B＝OA，

又 ∠BOM＝∠AOP，∴△BOM≌△AOP,

∴∠OBM＝∠OAP，BM=AP.

∴∠OBM+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝90°，

∴BM2+EB2=ME2，

又∵OE⊥PM，OM=OP，∴ME=PE，

∴PA2+EB2=PE2.

②如图②，设EB=m，则CE=8-m，∵ PA=x，则PC=4-x，又PE2=y，

在Rt△PEC中，由勾股定理得：PC2+CE2=PE2，

则(4-x)2+(8-m)2=y ①.

又PA2+EB2=PE2，则x2+m2=y，②.

由①②联解消y得：m=-③，

将③代入②并整理，得：y=，

∴y与x之间的函数关系式为 ，

∵=，

∴当x=2时，y的最小值为20，∴PE的最小值为2.