【题目】综合与实践:制作无盖盒子
任务一:如图1,有一块矩形纸板,长是宽的2倍,要将其四角各剪去一个正方形,折成高为4cm,容积为的无盖长方体盒子纸板厚度忽略不计.
请在图1的矩形纸板中画出示意图,用实线表示剪切线,虚线表示折痕.
请求出这块矩形纸板的长和宽.
任务二:图2是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子直棱柱,图3是其底面,在五边形ABCDE中,,,,.
试判断图3中AE与DE的数量关系,并加以证明.
图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图,将矩形纸板剪切折合而成,那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm?请直接写出结果图中实线表示剪切线,虚线表示折痕纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计.
【答案】任务一:(1)作图见试题解析;(2)30,15;任务二(1)AE=DE;(2),.
【解析】
试题任务一:(1)按要求画出示意图即可;
(2)设矩形纸板的宽为xcm,则长为2xcm,根据题意列出方程,解出即可.
任务二:(1)AD=DE,延长EA、ED分别交直线BC于点M、N,先证明△MAB≌△NDC,得到AM=DN即可;
(2)如图4,由(1)得;AE=DE,∠EAD=∠EDA=30°,由已知得,AG=DF=4,连接AD,GF,过B,C分别作BM⊥AD于M,CN⊥AD于N,过E作EP⊥AD于P,则GF即为矩形纸板的长,MN=BC=12,AP=DP,得到∠BAM=∠CDN=60°,求出AM、DN、BM、CN的长,然后通过三角形相似即可得到结果.
试题解析:任务一:(1)如图1所示:
(2)设矩形纸板的宽为xcm,则长为2xcm,由题意得:4(x﹣2×4)(2x﹣2×4)=616,解得:,(舍去),∴2x=2×15=30,
答:矩形纸板的长为30cm,宽为15cm;
任务二:(1)AE=DE,证明如下:延长EA,ED分别交直线BC于M,N,∵∠ABC=∠BCD=120°,∴∠ABM=∠DCN=60°,∵∠EAB=∠EDC=90°,∴∠M=∠N=30°,∴EM=EN,在△MAB与△NDC中,∵∠M=∠N,∠ABM=∠DCN,AB=DC,∴△MAB≌△NDC,∴AM=DN,∴EM﹣AM=EN﹣DN,∴AE=DE;
(2)如图4,由(1)得;AE=DE,∠EAD=∠EDA=30°,由已知得,AG=DF=4,连接AD,GF,过B,C分别作BM⊥AD于M,CN⊥AD于N,过E作EP⊥AD于P,则GF即为矩形纸板的长,MN=BC=12,AP=DP,∴∠BAM=∠CDN=60°,∵AB=CD=6,∴AM=DN=3,BM=CN=,∴AP=AD=(3+3+12)=9,∴AE=,PE=,∵AD∥GF,∴△EAD∽△EGF,∴,∴GF=,∴矩形纸板的长至少为,矩形纸板的宽至少为PE+BM++4==.
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【题目】在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.
(1)如图1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求证:EF=CD.
(2)如图2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,点P从A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿以2cm/s的速度向点D移动.经过多长时间P、Q两点的距离是10?
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,直线x=-1是对称轴,有下列判断:①b-2a=0;②4a-2b+c<0;③a-b+c=-9a;④若(-3,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1>y2,其中正确的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A,过点A作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于点B,AB=.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若P(x1,y1)、Q(x2,y2)是该反比例函数图象上的两点,且x1<x2时,y1>y2,指出点P、Q各位于哪个象限?并简要说明理由.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E,垂足为D,连接BE.已知AE=5,tan∠AED=,求BE+CE的值
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【题目】如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C,此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向,已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈,≈1.41)
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【题目】如图,已知公路l上A、B两点之间的距离为50m,小明要测量点C与河对岸边公路l的距离,测得∠ACB=∠CAB=30°.点C到公路l的距离为( )
A. 25m B. m C. 25m D. (25+25)m
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【题目】已知二次函数y=﹣(x﹣h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为﹣1,则h的值为( )
A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或6
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