Question

【题目】如图，在矩形中，，点，分别在，上，将沿折叠，使点落在上的点处，又将沿折叠，使点落在直线与的交点处．

（1）求证：点在的角平分线上；

（2）求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接CC′根据矩形的性质和平行线的性质可得∠DC′C=∠ECC′，由折叠的性质，∠ECC′=∠EC′C，从而得出∠EC′C=∠DC′C，最后根据角平分线的定义即可证出结论；

（2）由折叠的性质可得AB=AB′，∠B=∠AB′E=90°，C′F=CF，∠EC′F=∠ECF=90°，然后证出∠DAC=30°，结合矩形的性质、四边形的内角和求出∠DC′F=30°，从而得出C′F=2DF，最后根据CF＋DF=CD即可求出结论．

（1）证明：连接CC′

∵四边形ABCD为矩形

∴AD∥BC

∴∠DC′C=∠ECC′

由折叠的性质，∠ECC′=∠EC′C

∴∠EC′C=∠DC′C

∴点在的角平分线上；

（2）由折叠的性质可得AB=AB′，∠B=∠AB′E=90°，C′F=CF，∠EC′F=∠ECF=90°

∴CB′⊥C′B′，

∵C′C平分∠B′C′D，∠D=90°，CD=AB=a

∴CD=CB′

∴CD=AB′= CB′

∴AC=2CD

∴∠DAC=30°，

∴∠ACD=90°－∠DAC=60°

∴∠B′C′D=360°－∠C′B′C－∠D－∠ACD=120°

∴∠DC′F=∠B′C′D－∠EC′F=30°

在Rt△DC′F中，C′F=2DF

∴CF=2DF

∵CF＋DF=CD=a

∴3DF=a

∴DF=