Question

17．在研究一次函数的图象和性质时，小陈利用直线正比例函数y=x的图象，通过平移得到了一次函数y=x-1的图象，通过观察，小陈说只需将直线y=x向下平移一个单位，即可得到直线y=x-1；小云说，你的平移方式也可以看成将直线y=x向右平移1个单位；小捷说：你们俩说的都对，对于直线y=ax+b上任意一点A（x₀，y₀），向右平移m个单位，再向上平移n个单位，其解析式应该变成y=a（x-m）+b+n，例如：直线y=2x+3向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则解析式变为y=2x．
参考上述方法，解决下列问题：
问题1：将直线y=$\frac{1}{2}$x-1向右平移2个单位，则其解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2；
问题2：将直线y=$\frac{1}{3}$x+2向下平移1个单位，再向左平移3个单位，其解析式为y=$\frac{1}{3}$x+2；
问题3：将直线y=ax+a+1通过向下平移a+2个单位可以得到直线y=ax-1
知识应用：利用上述方法，我们也可以解决反比例函数的平移问题；
问题4：反比例函数y=$\frac{6}{x}$向右平移1个单位，其解析式为y=$\frac{6}{x-1}$；
问题5：反比例函数y₁=$\frac{4}{x}$与正比例函数y₂=x的交点M的坐标为（2，2）、（-2，-2）；利用图象解不等式$\frac{4}{x}$＞x，其解集为x＜-2或0＜x＜2；
问题6：利用上述知识解不等式$\frac{4}{x-2}$+1＞x-1，其解集为x＜0或2＜x＜4；
问题7：已知不等式$\frac{8}{x-a}$+b＞2x的解集为x＜-1或1＜x＜3，则a=1；b=2．
问题8：已知函数y=$\frac{2}{2x-1}$+3，其图象上任意一点（x₀，y₀），判断点（x₀+1，y₀-3）在下列哪个函数图象上C
A．y=$\frac{2}{2x-1}$； B．y=$\frac{2}{2x-1}$+3； C．y=$\frac{2}{2x-3}$； D．y=$\frac{2}{2x+1}$．

Answer 1

分析 根据题中直线平移的规律解决问题1、2、3；类似直线的平移规律，反比例函数图象的平移有相似的规律，则可解决问题4；先解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=x}\end{array}\right.$得M点坐标，然后利用两函数的图象的位置关系求不等式$\frac{4}{x}$＞x的解集，则可解决问题5；先把不等式变形得到$\frac{4}{x-2}$＞x-2，则可把问题5中的两函数图象向右平移2个单位得到y=$\frac{4}{x-2}$和y=x-2的图象，则把问题5中M点向右平移2个单位，则可确定图象y=$\frac{4}{x-2}$和图象y=x-2的交点坐标，然后利用两函数的图象的位置关系求不等式的解集，于是可解决问题6；由于不等式的解集为x＜-1或1＜x＜3，则直线x=1为图象y=$\frac{8}{x-a}$的对称轴，所以y=$\frac{8}{x}$与y=2x的图象向右平移1个单位得到y=$\frac{8}{x-a}$和y=2x-b的图象，则利用平移的规律易得a和b的值，从而解决问题7；先根据点平移的规律，求出y=$\frac{2}{2x-1}$+3的图象向左平移1个单位，向下平移3个单位的解析式即可解决问题8．

解答 解：问题1：将直线y=$\frac{1}{2}$x-1向右平移2个单位，则其解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-2）-1，即y=$\frac{1}{2}$x-2；
问题2：将直线y=$\frac{1}{3}$x+2向下平移1个单位，再向左平移3个单位，其解析式为y=$\frac{1}{3}$（x+3）+2-1，即y=$\frac{1}{3}$x+2；
问题3：由于将直线y=ax+a+1通过向下平移（a+2）个单位可以得到直线y=ax-1；
知识应用：
问题4：反比例函数y=$\frac{6}{x}$向右平移1个单位，其解析式为 y=$\frac{6}{x-1}$；
问题5：解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，所以反比例函数y₁=$\frac{4}{x}$与正比例函数y₂=x的交点M的坐标为（2，2）、（-2，-2）；不等式$\frac{4}{x}$＞x的解集为x＜-2或0＜x＜2；
问题6：不等式$\frac{4}{x-2}$+1＞x-1，即$\frac{4}{x-2}$＞x-2，即把反比例函数y₁=$\frac{4}{x}$与正比例函数y₂=x的交点M的坐标为（2，2）、（-2，-2）向右平移2个单位，所以不等式$\frac{4}{x-2}$+1＞x-1的解集为 x＜0或2＜x＜4；
问题7：不等式$\frac{8}{x-a}$+b＞2x变形为$\frac{8}{x-a}$＞2x-b，由于不等式的解集为x＜-1或1＜x＜3，则y=$\frac{8}{x}$与y=2x的图象向右平移一个单位得到y=$\frac{8}{x-a}$和y=2x-b的图象，所以a=1，b=2；问题8：点（x₀，y₀）向左平移1个单位，向下平移3个单位得到点（x₀+1，y₀-3），则把y=$\frac{2}{2x-1}$+3的图象向左平移1个单位，向下平移3个单位，其解析式为y=$\frac{2}{2（x-1）-1}$+3-2，即y=$\frac{2}{2x-3}$，故选C．
故答案为y=$\frac{1}{2}$x-2；y=$\frac{1}{3}$x+2；a+2；y=$\frac{6}{x-1}$；（2，2）、（-2，-2），x＜-2或0＜x＜2；x＜0或2＜x＜4；1，2；C．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征；运用一次函数图象的平移规律理解反比例函数图象的平移规律；会利用图象法解不等式．