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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;

(2)点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;

(3)若点P是x轴上方抛物线上的动点,以PB为边作正方形PBFG,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随着改变,当顶点F或G恰好落在y轴上时,请直接写出点P的横坐标.

【答案】(1)D(2,8);(2)(﹣1,)或(﹣3,﹣);(3)点P的横坐标为1+或4或0.

【解析】

(1)由B、C的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式,再求其顶点D即可;
(2)过FFG⊥x轴于点G,可设出F点坐标,利用△FBG∽△BDE,由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程,可求得F点的坐标;
(3)设P(m,m2+2m+6),有四种情况:
①如图2,当Gy轴上时,过PPQ⊥y轴于Q,作PM⊥x轴于M,
证明△PQG≌△PMB,则PQ=PM,列方程可得m的值;
②当Fy轴上时,如图3,过PPM⊥x轴于M,同理得结论;
③当Fy轴上时,如图4,此时PC重合;
④当Gy轴上时,如图5,过PPM⊥x轴于M,作PN⊥y轴于N,列方程可得m的值.

解:(1)把点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6)代入抛物线y=﹣x2+bx+c得:

解得:

∴y=﹣x2+2x+6=﹣(x﹣2)2+8,

∴D(2,8);

(2)如图1,过F作FGx轴于点G,

设F(x,﹣x2+2x+6),则FG=|﹣x2+2x+6|,

∵∠FBA=∠BDE,∠FGB=∠BED=90°,

∴△FBG∽△BDE,

∵B(6,0),D(2,8),

∴E(2,0),BE=4,DE=8,OB=6,

∴BG=6﹣x,

当点F在x轴上方时,有6﹣x=2(﹣+2x+6),

解得x=﹣1或x=6(舍去),

此时F点的坐标为(﹣1,);

当点F在x轴下方时,有6﹣x=2(2x6),

解得x=﹣3或x=6(舍去),

此时F点的坐标为(﹣3,﹣);

综上可知F点的坐标为(﹣1,)或(﹣3,﹣ );

(3)设P(m,),

有三种情况:

如图2,当G在y轴上时,过P作PQy轴于Q,作PMx轴于M,

四边形PBFG是正方形,

∴PG=PB,

∵∠PQG=∠PMB=90°,∠QPG=∠MPB,

∴△PQG≌△PMB,

∴PQ=PM,

即m=﹣ m2+2m+6,

解得:m1=1+,m2=1﹣(舍),

P的横坐标为1+

当F在y轴上时,如图3,过P作PMx轴于M,

同理得:△PMB≌△BOF,

∴OB=PM=6,

即﹣m2+2m+6=6,

m1=0(舍),m2=4,

P的横坐标为4,

当F在y轴上时,如图4,此时P与C重合,

此时P的横坐标为0,

综上所述,点P的横坐标为1+ 或4或0.

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