【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;
(3)若点P是x轴上方抛物线上的动点,以PB为边作正方形PBFG,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随着改变,当顶点F或G恰好落在y轴上时,请直接写出点P的横坐标.
【答案】(1)D(2,8);(2)(﹣1,)或(﹣3,﹣);(3)点P的横坐标为1+或4或0.
【解析】
(1)由B、C的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式,再求其顶点D即可;
(2)过F作FG⊥x轴于点G,可设出F点坐标,利用△FBG∽△BDE,由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程,可求得F点的坐标;
(3)设P(m,m2+2m+6),有四种情况:
①如图2,当G在y轴上时,过P作PQ⊥y轴于Q,作PM⊥x轴于M,
证明△PQG≌△PMB,则PQ=PM,列方程可得m的值;
②当F在y轴上时,如图3,过P作PM⊥x轴于M,同理得结论;
③当F在y轴上时,如图4,此时P与C重合;
④当G在y轴上时,如图5,过P作PM⊥x轴于M,作PN⊥y轴于N,列方程可得m的值.
解:(1)把点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6)代入抛物线y=﹣x2+bx+c得:
,
解得: ,
∴y=﹣x2+2x+6=﹣(x﹣2)2+8,
∴D(2,8);
(2)如图1,过F作FG⊥x轴于点G,
设F(x,﹣x2+2x+6),则FG=|﹣x2+2x+6|,
∵∠FBA=∠BDE,∠FGB=∠BED=90°,
∴△FBG∽△BDE,
∴ ,
∵B(6,0),D(2,8),
∴E(2,0),BE=4,DE=8,OB=6,
∴BG=6﹣x,
∴ = = ,
当点F在x轴上方时,有6﹣x=2(﹣+2x+6),
解得x=﹣1或x=6(舍去),
此时F点的坐标为(﹣1,);
当点F在x轴下方时,有6﹣x=2(-2x-6),
解得x=﹣3或x=6(舍去),
此时F点的坐标为(﹣3,﹣);
综上可知F点的坐标为(﹣1,)或(﹣3,﹣ );
(3)设P(m,),
有三种情况:
①如图2,当G在y轴上时,过P作PQ⊥y轴于Q,作PM⊥x轴于M,
∵四边形PBFG是正方形,
∴PG=PB,
∵∠PQG=∠PMB=90°,∠QPG=∠MPB,
∴△PQG≌△PMB,
∴PQ=PM,
即m=﹣ m2+2m+6,
解得:m1=1+,m2=1﹣(舍),
∴P的横坐标为1+,
②当F在y轴上时,如图3,过P作PM⊥x轴于M,
同理得:△PMB≌△BOF,
∴OB=PM=6,
即﹣m2+2m+6=6,
m1=0(舍),m2=4,
∴P的横坐标为4,
③当F在y轴上时,如图4,此时P与C重合,
此时P的横坐标为0,
综上所述,点P的横坐标为1+ 或4或0.
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【题目】如图,点,过点做直线平行于轴,点关于直线对称点为.
(1)求点的坐标;
(2)点在直线上,且位于轴的上方,将沿直线翻折得到,若点恰好落在直线上,求点的坐标和直线的解析式;
(3)设点在直线上,点在直线上,当为等边三角形时,求点的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD,将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在双曲线在第一象限的分支上,则a的值是_____.
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【题目】如图,M、N是平行四边形ABCD对角线BD上两点.
(1)若BM=MN=DN,求证:四边形AMCN为平行四边形;
(2)若M、N为对角线BD上的动点(均可与端点重合),设BD=12cm,点M由点B向点D匀速运动,速度为2(cm/s),同时点N由点D向点B匀速运动,速度为 a(cm/s),运动时间为t(s).若要使四边形AMCN为平行四边形,求a的值及t的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).
(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围.
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.
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【题目】如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头,A在B的正东方向,一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处,此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向.求此时小船到B码头的距离(即BP的长)和A、B两个码头间的距离(结果都保留根号).
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【题目】如图,将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置,AB与A1C1相交于点D,AC与A1C1、BC1分别交于点E. F.
(1)求证:△BCF≌△BA1D.
(2)当∠C=α度时,判定四边形A1BCE的形状并说明理由。
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