Question

8．如图，已知一次函数y₁=kx+b的图象交反比例函数y₂=$-\frac{4-2m}{x}$（x＞0）图象于点A、B，交x轴于点C．
（1）求m的取值范围；
（2）若点A的坐标是（2，-4），且$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$，求m的值和一次函数的解析式；
（3）观察图象，直接写出当y₁≥y₂时的x范围．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线位于第四象限，比例系数k＜0，列式求解即可；
（2）先把点A的坐标代入反比例函数表达式求出m的值，从而的反比例函数解析式，设点B的坐标为B（x，y），利用相似三角形对应边成比例求出y的值，然后代入反比例函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可．
（3）观察函数图象得到当0＜x≤2或x≥8，y₁≥y₂．

解答 解：（1）根据题意，反比例函数图象位于第四象限，
∴-（4-2m）＜0，
解得m＜2；

（2）∵点A（2，-4）在反比例函数图象上，
∴-$\frac{4-2m}{2}$=-4，
解得m=-2，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{8}{x}$，
∵$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
设点B的坐标为（x，y），
则点B到x轴的距离为-y，点A到x轴的距离为4，
所以$\frac{-y}{4}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
解得y=-1，
∴-$\frac{8}{x}$=-1，
解得x=8，
∴点B的坐标是B（8，-1），
设这个一次函数的解析式为y=kx+b，
∵点A、B是一次函数与反比例函数图象的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-4}\\{8k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式是y=$\frac{1}{2}$x-5．

（3）y₁≥y₂时x的取值范围是0＜x≤2或x≥8．

点评 本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及观察图象的能力，待定系数法求函数解析式，求出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．