【题目】如图1,抛物线y=ax2﹣4ax+b经过点A(1,0),与x轴交于点B,与y轴交于点C,且OB=OC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将△OAC沿AC翻折得到△ACE,直线AE交抛物线于点P,求点P的坐标;
(3)如图2,点M为直线BC上一点(不与B、C重合),连OM,将OM绕O点旋转90°,得到线段ON,是否存在这样的点N,使点N恰好在抛物线上?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+4x﹣3.(2)点P();(3)存在符合条件的N点,且坐标为N(2,1)或(5,﹣8).
【解析】
(1)根据抛物线的解析式,可得抛物线的对称轴方程,进而可根据点A的坐标表示出点B的坐标,已知OB=OC,即可得到点C的坐标,从而利用待定系数法求得抛物线的解析式.
(2)点P为直线AE和抛物线的交点,欲求点P,必须先求出直线AE的解析式;设直线AE与y轴的交点为F,易得△FOA∽△FEC,由于OA=1,EC=3,根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF,设OF=x,则EF=3x,AF=3x-1,进而可在Rt△FOA中求出x的值,也就能求出F点的坐标,然后利用待定系数法求出直线AE的解析式,联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标.
(3)此题应分三种情况讨论:
①当点M在第一象限时,可设M(a,a-3),由于ON是由OM旋转90°而得,因此△OMN是等腰直角三角形,分别过M、N作MG、NH垂直于x轴,即可证得△OMG≌△NOH,得MG=OH,NH=OG,由此可表示出N点的坐标,然后将其代入抛物线的解析式中,即可求得点M、N的坐标;
②当点M在第三象限,④点M在第四象限时,解法同①.
(1)由题意知:抛物线的对称轴为:x=2,则B(3,0);
已知OB=OC=3,则C(0,-3);
设抛物线的解析式为:y=a(x-1)(x-3),依题意有:
a(0-1)(0-3)=-3,a=-1;
故抛物线的解析式为:y=-x2+4x-3.
(2)设AE交y轴于点F;
易证得△FOA∽△FEC,有,
设OF=x,则EF=3x,
所以FA=3x﹣1;
在Rt△FOA中,由勾股定理得:
(3x﹣1)2=x2+1,
解得x=;
即OF=,F(0,);
求得直线AE为y=﹣x+,
联立抛物线的解析式得:,
解得,;
故点P(,).
(3)∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴直线BC:y=x﹣3;
设点M(a,a﹣3),则:
①当点M在第一象限时,OG=a,MG=a﹣3;
过M作MG⊥x轴于G,过N作NH⊥x轴于H;
根据旋转的性质知:∠MON=90°,OM=ON,
则可证得△MOG≌△NOH,得:
OG=NH=a,OH=MG=a﹣3,
故N(a﹣3,﹣a),
将其代入抛物线的解析式中,得:
﹣(a﹣3)2+4(a﹣3)﹣3=﹣a,
整理得:a2﹣11a+24=0,
a=3(舍去),a=8;
故M(8,5),N(5,﹣8).
②当点M在第三象限时,OG=﹣a,MG=3﹣a;
同①可得:MG=OH=3﹣a,OG=NH=﹣a,则N(3﹣a,a),代入抛物线的解析式可得:
﹣(3﹣a)2+4(3﹣a)﹣3=a,
整理得:a2﹣a=0,故a=0,a=1;
由于点M在第三象限,
所以a<0,
故a=0、a=1均不合题意,此种情况不成立;
③当点M在第四象限时,OG=a,MG=3﹣a;
同①得:N(3﹣a,a),在②中已经求得此时a=0(舍去),a=1;
故M(1,﹣2),N(2,1);
综上可知:存在符合条件的N点,且坐标为N(2,1)或(5,﹣8).
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【题目】阅读下面内容,并按要求解决问题: 问题:“在平面内,已知分别有个点,个点,个点,5 个点,…,n 个点,其中任意三 个点都不在同一条直线上.经过每两点画一条直线,它们可以分别画多少条直线? ” 探究:为了解决这个问题,希望小组的同学们设计了如下表格进行探究:(为了方便研 究问题,图中每条线段表示过线段两端点的一条直线)
请解答下列问题:
(1)请帮助希望小组归纳,并直接写出结论:当平面内有个点时,直线条数为 ;
(2)若某同学按照本题中的方法,共画了条直线,求该平面内有多少个已知点.
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【题目】如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是的中点,CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE,CB于点P,Q,连接AC,关于下列结论:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心,其中结论正确的是________(只需填写序号).
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【题目】已知,正方形ABCD,G是BC边上ー点,连接AG,分别以AG和BG为直角边作等腰Rt△AGF和等腰Rt△GBE,使∠GBE=∠AGF=90°,点E,F在BC下方,连接EF.
求证:①∠BAG=∠BGF,
②CG=EF:
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【题目】如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
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【题目】如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度,由于教学楼底部不能直接到达,故兴趣小组在平地上选择一点C,用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°,再向主教学楼的方向前进24米,到达点E处(C,E,B三点在同一直线上),又测得主教学楼顶端A的仰角为60°,已知测角器CD的高度为1.6米,请计算主教学楼AB的高度.(≈1.73,结果精确到0.1米)
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【题目】如图,可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域,其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°.转动转盘,待转盘自动停止后,指针指向一个扇形的内部,则该扇形内的数字即为转出的数字,此时,称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线,则不计转动的次数,重新转动转盘,直到指针指向一个扇形的内部为止)
(1)转动转盘一次,求转出的数字是-2的概率;
(2)转动转盘两次,用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率.
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【题目】如图是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔,是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品,并作为丝绸之路的一处重要遗址点,被列入《世界遗产名录》.小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度,由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量,因此经过研究需要进行两次测量,于是在阳光下,他们首先利用影长进行测量,方法如下:小铭在小雁塔的影子顶端D处竖直立一根木棒CD,并测得此时木棒的影长DE=2.4米;然后,小希在BD的延长线上找出一点F,使得A、C、F三点在同一直线上,并测得DF=2.5米.已知图中所有点均在同一平面内,木棒高CD=1.72米,AB⊥BF,CD⊥BF,试根据以上测量数据,求小雁塔的高度AB.
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