Question

如图，已知△ABO是等腰直角三角形，OB=OA，C、D在直线BO上，BC=OD，ON⊥AD，垂足是N，AB、NO的延长线交于M，连接MC，求证：∠C+∠D=180°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过B作BE⊥CD交MN于E，可证△AOD≌△OBE和△MBC≌△MBE，即可求得∠D=∠BEO和∠C=∠BEM，即可解题．

解答：解：过B作BE⊥CD交MN于E，

∵∠BOE=∠DON，∠BEO+∠BOE=90°，∠DON+∠ODN=90°，
∴∠BEO=∠ODN，
在△AOD和△OBE中，

∠BEO=∠ODN ∠EBO=∠DOA BO=AO

，
∴△AOD≌△OBE（AAS），
∴OD=BE，∠D=∠BEO，
∵OB=OA，
∴∠OBA=45°，
∴∠MBE=∠MBC=45°，
在△MBC和△MBE中，

BC=BE ∠MBE=∠MBC BM=BM

，
∴△MBC≌△MBE（SAS），
∴∠C=∠BEM，
∴∠C+∠D=∠BEM+∠BEO=180°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题运用转化思维求解是解题的关键．