Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AD=2，BC=4，∠B=60°，如果P是BC上一点，Q是AP上一点，且∠AQD=60°
（1）求证：△ABP∽△DQA；
（2）当点P在BC上移动时，线段DQ的长度也随之变化，设PA=x，DQ=y．求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据已知求得∠DAQ=∠APB，∠B=∠AQD，即可求得结论；
（2）作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为M、N，即可求得BM=CN=1，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求得AB=CD=2，根据相似三角形对应边成比例即可求得y与x之间的函数关系式，通过求得AC的长，即可求得x的取值范围．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAQ=∠APB，
∵∠B=60°，∠AQD=60°，
∴∠B=∠AQD，
∴△ABP∽△DQA；
（2）作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为M、N，
∵等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AD=2，BC=4，∠B=60°，
∴BM=CN=1，
∴AB=CD=2BM=2，
∵△ABP∽△DQA，
∴

AD

AP

=

DQ

AB

，
设PA=x，DQ=y．
∴

2

x

=

y

2

，
∴y=

4

x

，
∵AD=DC=2，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DCA=∠ACB，
∵∠B=∠BCD=60°，
∴∠ACB=30°
∴∠BAC=90°，
∴AC=

BC2-AB2

=

42-22

=2

3

，
∴x的取值范围为2＜x＜2

3

．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，以及直角三角形的判定，勾股定理的应用等，求得AB的长是关键．