Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，求证：AB²=AD•AC，BD²=AD•DC．

Answer 1

考点：射影定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据相似三角形的判定方法证明Rt△ABD∽Rt△ACB得到AB：AC=AD：AB，再利用比例性质可得AB²=AD•AC；证明Rt△ABD∽Rt△BCD得到BD：CD=AD：BD，
利用比例性质可得BD²=AD•DC．

解答：证明：∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∵∠BAD=∠CAB，
∴Rt△ABD∽Rt△ACB，
∴AB：AC=AD：AB，
∴AB²=AD•AC；
∵∠A+∠ABD=90°，∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠A=∠DBC，
∴Rt△ABD∽Rt△BCD，
∴BD：CD=AD：BD，
∴BD²=AD•DC．

点评：本题考查了射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．