【题目】已知抛物线y=x2+1(如图所示).
(1)填空:抛物线的顶点坐标是(______),_____),对称轴是_____;
(2)已知y轴上一点A(0,2),点P在抛物线上,过点P作PB⊥x轴,垂足为B.若△PAB是等边三角形,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,点M在直线AP上.在平面内是否存在点N,使四边形OAMN为菱形?若存在,直接写出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】 (0,1) y轴(或x=0) P1(2,4),P2(﹣2
,4) 见解析
【解析】试题分析:(1)根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可;(2)根据等边三角形的性质求得PB=4,将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐 标,代入解析式即可求得P点的纵坐标;(3)首先求得直线AP的解析式,然后设出点M的坐标,利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程,求得M的横坐标后即可求得其纵坐标,
试题解析:(1)顶点坐标是(0,1),对称轴是y轴(或x=O).
(2)∵△PAB是等边三角形,∴∠ABO=90°﹣60°=30°.∴AB=20A=4.∴PB=4.
解法一:把y=4代入y=x2+1,得 x=±2
.∴P1(2
,4),P2(﹣2
,4).
解法二:∴OB==2
∴P1(2,4),根据抛物线的对称性,得P2(﹣2
,4).
(3)∵点A的坐标为(0,2),点P的坐标为(2,4)
∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b
∴
解得:
∴解析式为:y=x+2
设存在点N使得OAMN是菱形,
∵点M在直线AP上,
∴设点M的坐标为:(m, m+2)
如图,作MQ⊥y轴于点Q,则MQ=m,AQ=OQ﹣OA=m+2﹣2=
m
∵四边形OAMN为菱形,
∴AM=AO=2,
∴在直角三角形AMQ中,AQ2+MQ2=AM2,
即:m2+(m)2=22
解得:m=±
代入直线AP的解析式求得y=3或1,
当P点在抛物线的右支上时,分为两种情况:
当N在右图1位置时,
∵OA=MN,
∴MN=2,
又∵M点坐标为(,3),
∴N点坐标为(,1),即N1坐标为(
,1).
当N在右图2位置时,
∵MN=OA=2,M点坐标为(﹣,1),
∴N点坐标为(﹣,﹣1),即N2坐标为(﹣
,﹣1).
当P点在抛物线的左支上时,分为两种情况:
第一种是当点M在线段PA上时(PA内部)我们求出N点坐标为(﹣,1);
第二种是当M点在PA的延长线上时(在第一象限)我们求出N点坐标为(,﹣1)
∴存在N1(,1),N2(﹣
,﹣1)N3(﹣
,1),N4(
,﹣1)使得四边形OAMN是菱形.
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【题目】为执行“均衡教育”政策,我县2015年投入教育经费2500万元,预计2017年投入3600万元,若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x,则下列方程正确的是( )
A.2500(1+x)2=3600
B.2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=3600
C.2500(1﹣x)2=3600
D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3600
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【题目】(1)如图①②,锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的变化而变化.试探索随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值变化的规律.
(2)根据你探索到的规律,试比较18°,34°,50°,62°,88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
(3)比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”):
若α=45°,则sin α cos α;
若α<45°,则sin α cos α;
若α>45°,则sin α cos α.
(4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系,试比较下列正弦值和余弦值的大小:sin 10°,cos 30°,sin 50°,cos 70°.
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【题目】如图,小李在一次高尔夫球选拔赛中,从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去,球的飞行路线为抛物线,如果不考虑空气阻力,当球达到最大水平高度12米时,球移动的水平距离为9米.已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o,O、A两点相距8米.
(1)求直线OA的解析式;
(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式;
(3)判断小李这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点.
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【题目】在正三角系,正方形,正五边形,正六边形这几个图形中,单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是( )
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
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